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第一类椭圆积分（Elliptic Integral of the First Kind）：F(φ,k) 第二类椭圆积分（Elliptic Integral of the Second Kind）：E(φ,k) 第三类椭圆积分（Elliptic Integral of the Third Kind）：Π(n;φ,k)
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当自变量φ=π/2，即sinφ=1时，称为完全椭圆积分，否则称为不完全椭圆积分。
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长半轴为a，离心率为e的椭圆的周长C等于第二类完全椭圆积分的4a倍。 即C=4aE(π/2,e)
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C=2aE(π,e) 证明：
式中E(π,e)称为椭圆的圆周率（椭圆周率），记作π(e)=E(π,e)，e为椭圆的离心率。 椭圆的周长=2×椭圆周率×长半轴=椭圆周率×长轴。 π(0)=E(π,0)=π=3.1415926....... π(1)=E(π,1)=2 |
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第一类椭圆积分函数F(x,k)的反函数又称为雅可比椭圆幅值函数（Jacobi amplitude）：am(x,k)。 https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html https://mathworld.wolfram.com/JacobiAmplitude.html F[am(x,k),k]=x
椭圆正弦函数sn(x,k)是第一类椭圆积分函数的反函数的正弦值：sn(x,k)=sin[am(x,k)]。 sn、cn和dn称为雅可比椭圆函数。
雅可比椭圆函数一共有十二种。普通的sn、cn和dn可以视作“弦类”，它们的比sc、sd、cs、cd、ds、dc可以视作“切类”，它们的倒数ns、nc、nd可以视作“割类”。 dn是椭圆模弦函数。
因为sn(x,k)=sin[am(x,k)]，且cn(x,k)=cos[am(x,k)]，所以一定有sn²(x,k)+cn²(x,k)=1。因为sn和cn本质上就是正弦，余弦函数套壳。 |
（1）∫sinxdx和∫cosxdx虽然不定积分不同，但在0到π/2区间上的定积分值是相同的，因为函数图像相反，面积相同。
（2）由离心率e和长半轴a可以求出短半轴b。
（3）cosx=sin(π/2-x)是三角函数的诱导公式。
（4）d(π/2-x)=d(π/2)-dx=0-dx=-dx。d(π/2)中的π/2是常数，所以微分结果为0。
（5）定积分上下限交换后，要在前面添加负号。
椭圆的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ。他写反了。
（6）定积分中用t=π/2-x换元后，积分的上下限也要变成t的对应值。
下限x=0对应t=π/2，上限x=π/2对应t=0。
https://www.zhihu.com/question/359369513/answer/923630683
这篇知乎文章也提到了C=4aE(π/2,e)。