因为arcsn(sinx,k)=F(x,k)
所以arcsn(x,k)=F(arcsinx,k)

设x=arcsn(y,k)=F(arcsiny,k)
则y=sn(x,k)，其中k是常数。

因为x=F(arcsiny,k)
所以arcsiny=arcF(x,k)。
所以y=sin[arcF(x,k)]。
于是得到椭圆正弦函数与第一类不完全椭圆积分的逆的关系：
sn(x,k)=sin[arcF(x,k)]。

sn(x,k)是第一类椭圆积分函数的反函数的正弦值。
cn(x,k)是第一类椭圆积分函数的反函数的余弦值。
dn(x,k)是第一类椭圆积分函数的反函数的导函数。
第一类椭圆积分函数的反函数又称为雅可比椭圆幅值函数am(x,k)。

因为sn(x,k)=sin[am(x,k)]
且cn(x,k)=cos[am(x,k)]
所以一定有sn²(x,k)+cn²(x,k)=1。
因为sn和cn本质上就是正弦，余弦函数套壳。