因為arcsn(sinx,k)=F(x,k)
所以arcsn(x,k)=F(arcsinx,k)

設x=arcsn(y,k)=F(arcsiny,k)
則y=sn(x,k)，其中k是常數。

因為x=F(arcsiny,k)
所以arcsiny=arcF(x,k)。
所以y=sin[arcF(x,k)]。
於是得到橢圓正弦函數與第一類不完全橢圓積分的逆的關係：
sn(x,k)=sin[arcF(x,k)]。

sn(x,k)是第一類橢圓積分函數的反函數的正弦值。
cn(x,k)是第一類橢圓積分函數的反函數的餘弦值。
dn(x,k)是第一類橢圓積分函數的反函數的導函數。
第一類橢圓積分函數的反函數又稱為雅可比橢圓幅值函數am(x,k)。

因為sn(x,k)=sin[am(x,k)]
且cn(x,k)=cos[am(x,k)]
所以一定有sn²(x,k)+cn²(x,k)=1。
因為sn和cn本質上就是正弦，餘弦函數套殼。