綜述：經典力學又叫經典運動力學，是以牛頓定律為基礎來研究相對運動及運動改變的原因的物理學分支。
其他相關力學分支參見2樓連結。


基本概念：
【時間】
古典時間觀念：時間是用於描述 事件發生的先後順序 和 物質變化的連續性 的標度
我們通常所說的時間一詞指包括所有可能存在的時刻，是由所有可能存在的時刻組成的整體（數學上的一個集），這是時間這個詞的主義
此外，時間一詞通常可能還指代下述三個具體概念：


1----時刻（時序標）：
用於描述事件發生的先後順序，忽略連續性成分，在有必要考慮其連續性成分時，通常被視為」瞬間「，在將時間視為一維單向軸概念時，時刻被視為時間軸上的一點
時刻的相對性：
計時器何時開始計時，計時器的走率快慢都會影響測量者對時刻的計數（測量）
例如：每個人的手錶未必與國家標準計時鐘表完全一致，但我們說即使如此，每個人用自己的鐘表測量時刻，並將其作為參考數據代入相關物理問題，都不會影響問題最終結果的正確性，具體原因參見與時刻的相關物理定律


2----時間差：
任意兩個時刻之間的差值，通常用時序上偏後的時刻減去時序上偏前的時刻得到這個概念，而不是反過來減
請注意，這個概念是個純數學概念，並不具有實際的物理意義，因為它並不限定兩個時刻必須是同一觀察者測量的，也不限定兩個時刻必須是在同一地點測量的，而當我們對運動力學稍有了解之後你會發現，這兩個具體要求其實非常重要，它們將導引出下面一個重要概念：


3----時段：
時段是一種時間差，但它不是任意的時間差，它有如下嚴格的要求：
同一位觀測者，在同一地點所測量得到的兩個時刻相減所得到的時間差（當然是按照時間差的定義，用時序上靠後的時刻減去時序上靠前的時刻得到的差值），叫做時段
時段用於描述被觀察者觀測的物質狀態變化過程的持續性，而不符合時段定義的那些任意的時間差都不能用於描述物質變化的連續性




上述三個概念為 時間 的歧義，加上時間的主義，時間一詞共計四個含義，在物理學書籍中通常都稱為時間，請注意根據語境自行區分

在中文物理書籍中，
時刻有時被稱作瞬時，這兩種叫法是同義的
時間差又是被叫做時長，這兩種叫法也是同義的
時段通常沒有另外的叫法，但很多時候會直接被稱為時間差或者時長，在不會對問題思考造成嚴重錯誤的條件下，我們默認這種稱呼是合適的，但從嚴格意義上來說這種叫法是錯的，尤其在相對論問題中


時間的測量定義（也叫物理定義）：
要定義時間的幾個概念，先要定義 鍾 的概念：
假定可以找到某種可以自發重複發生的物理變化過程，該種過程滿足條件：
1----每一次該種物理變化都能夠找到明確的變化起點事件和變化終點事件
2----同一次該種物理變化的變化起點事件和變化終點事件之間有持續性
3----每一次該種物理變化的變化起點與其前一次該種物理變化的變化終點間沒有持續性（或稱之為在時序上重合）
4----不同次的該種物理變化所對應的連續性都相同
5----該物理變化是不可逆的
則可以認為我們找到的這種能自發重複發生的物理變化具有」周期性「或」均勻性「
滿足這種要求的可自行重複發生的物理變化過程，即可被視為一個」鐘錶（簡稱鍾）「過程
下面我們定義時間的三個具體概念：

時刻：
鍾過程的每一次重複發生的起點事件就是上一次過程的結束事件，因此我們把每一次鍾過程的起點事件用實數來標定為一個時刻，並用實數的大小關係來表示各次鍾過程的起點之間的時序先後關係
通常我們認為時刻不具有持續性，因為它所對應的鐘過程的起點事件是被視為沒有持續性的，因此才可以在數學上對應於一個確定實數單值

時間差：
時序靠後的時刻值減去時序靠前的時刻值得到的數學差值
在很多情況下，所謂時序靠後指的是時刻對應的實數值較大，很多時候而並不是真的考慮具體時序關係，因為不同參照系的時刻之間不一定能很輕易確定時序先後，而同一觀察者在不同地點測量的兩個時刻之間未必描述同一個物理過程，但是物理學中仍然要求儘可能地在確定了時序先後順序之後才去做差

時段：
同一觀察者在同一地點測量的兩個時刻，按照時間差定義相減得到的數學差值

【空間】
古典釋義：容納物質存在的範圍稱為空間


這個古典釋義並不能夠在物理中準確應用，因為我們目前尚不清楚某些物質屬性確實是獨立的物質屬性，還是我們觀測<高維空間結構在我們三維空間中的投影>時獲得的觀測效應
直白一些來說，我們不知道是否真的存在更高維的空間結構，所以空間這個詞是否僅限於指代三維空間，還是一個有爭議的問題
但在現代理論物理學中，物理學家傾向於認為高維空間結構存在，而很多物理屬性實際上是我們觀測<高維空間結構在我們三維空間中的投影>時獲得的觀測效應，因此在諸如弦論之類的物理學專著中，空間一詞可以涵蓋超過三維空間的領域


儘管空間這個概念並不是一個準確的概念，但並不影響我們用測量手段給出與之相關的一系列物理概念的準確定義：


【尺】
在討論時間的時候，我們定義了時間測量工具」鍾「的概念，在這裡的」尺「顯然是空間測量工具的概念（之一）
首先，尺也具有確定方向性
在數學上，連續曲線（一維）通常指光滑連續的曲線，我們可以對曲線規定出它的自然坐標系：
即給曲線上每一點指定一個實數值，並要求所有點的實數標度（坐標）應該是按照實數大小順序遞增排列，形成曲線上的自然坐標系，並以此給出曲線的坐標遞增方向
尺上的方向概念類似曲線上方向的定義，尺也具有類似曲線的自然坐標系，所以尺上也有坐標


其次，尺也具有容納的屬性

容納屬性通常在理論意義上被稱之為」連續性對坐標變量可求導「。這個解釋起來稍微有點麻煩：
數學上的連續曲線，並不都指光滑連續曲線（一維），還有分形曲線（非一維曲線，例如某些看似噪波的具有無窮精細結構的曲線）的存在，分形曲線也屬於連續曲線
但是光滑連續曲線的連續性（這裡我們還沒有給出長度的概念，所以還得說連續性，其實這裡隱含了長度概念）在數學上是能夠對坐標求導數的（準確說是長度能對坐標求導）
而分形曲線則不一定都能滿足：其連續性（長度）能對任意一點坐標求導，甚至它們的長度定義也不那麼簡單
因此我們要求我們的尺必須是一維連續曲線型的，即」連續性對坐標變量可求導「的
其實當我們在後面介紹了長度定義之後，各位會更直觀地明白：
要求尺能夠滿足」連續性對坐標變量可求導「，其實就是為了能在尺上定義長度
當我們的尺滿足了」連續性對坐標變量可求導「這個要求，我們可以對尺取任意兩段，即找至少個4坐標點a,b,c,d（我們假定三點坐標遞增a<b<c<d），它們沿著尺的坐標增大方向可以形成兩個坐標差b-a和d-c（大值的坐標減去小值的坐標）
當我們把b-a平移到d-c的位置去，我們的尺應該滿足如下條件：
如果在數學上b-a=d-c
那麼我們在尺上所做的平移應該導致原來的a點移動到c點，即a和c重合；且同時有另一結果：
原來的b點移動到d點，即b和d重合
簡單來說就是數學上相等的差值對應尺上坐標之間的尺的部分的空間容積相等
我們要求對任意坐標a<b<c<d，在b-a=d-c時，我們的尺都一定滿足平移b-a到d-c之後，a和c重合，且b和d重合
這樣的一件一維測量工具，就叫 尺，它滿足」標量平移不變性（就是我們上面要求的平移後一維容積相等）「


最後要說的是，別忘了尺可能有形狀，我們也沒有定義一定必須是直尺（這個觀點在相對論這類非歐幾何時空理論中尤為重要），尺對應的曲線也可能會與自身相交（形成某種循環結構），原則上來說，上面對於尺的定義有一定通用性，當然在具體問題中可能還要有修正（我們在這裡就不涉及修正的問題了），但我們要清楚的是，上述定義暗含了一個條件：
尺可以在平移過程中改變形狀，以保證尺上的點與被測一維空間部分的端點重合
我們的尺能夠在任意變形的情況下依舊滿足」標量平移不變性「，這是尺的實質特徵


【長度】
長度一詞專指空間長度，而在時間概念中有時長的說法，長度是物理學上對於一維空間部分的容量的描述，而實際上它也暗含了空間連續性（這個是通過尺的數學可導性暗含的，我們不重複說了）
在我們上述定義的尺的概念之下，如果我們用平移這把尺，使被測量的一維空間部分的至少2個端點與尺上兩點分別重合（注意我們的尺可以任意變形來適應被測一維空間部分的形狀），那麼尺上這兩點的坐標（每點一個，共計兩個坐標）就可以按照其坐標值，大值坐標減去小值坐標得到一個數學差值，這個差值一定不是負數，它稱為長度


由於尺實際上是可以任意變形的，所以我們所說的長度當然包括直線和曲線長度

【角度】

通常我們這裡指的是二維空間的角度，但很多時候它也會被擴展到三維空間中去使用，比如數學中的空間曲線夾角或者曲面夾角（實質上都是二維空間的角度）
定義這個概念之前，我們有必要談一談二維空間（我們不涉及更高維數，而且我們要提醒大家的是，我們下面的討論最多能夠適用到三維空間，四維空間或更高維空間，已經不能憑直觀來想像）


一個二維空間，數學上的抽象定義是空間中每一個容量為0的結構（我們不直接說是點，因為可能導致其他問題，例如點的鄰域的連續性問題，我們不想討論那麼多太複雜的與本部分主題無關的東西），可以用兩個坐標來定位


例如圖中曲面上任意一點可以用經向坐標（通過該點的拋物線上的自然坐標系中的坐標）和緯向坐標（通過該點的圓線上的自然坐標系中的坐標）這兩個坐標來定位

但是我們很容易想到一個問題，經緯向的自然坐標系都是一維坐標系，它們要組成一個二維坐標系，必然要有一套組成規則
如果你想到了這個問題，那麼就表明你觸及到我們問題的核心了：
一個二維結構絕不是一系列一維結構的隨意組合，二維結構之所以不再是一維結構，就是因為它上面存在了新的空間結構規則
所以我們討論二維空間中的位置關係的時候，不僅要討論長度（距離），通常還要討論角度，因為角度是用來描述一維空間結構如何組成二維空間結構的規則用到的概念


物理學中的二維角度定義，與幾何中二維角度定義一致，當兩條曲線相交時，我們取它們交點附近的兩條曲線的儘可能小部分（都要包括交點在內），將所取的兩部分（每條曲線取一部分）近似看作直線，這樣確定了一個非常微小的平面結構，在這個平面結構中去根據根據平直空間結構下定義的角度概念來定義兩條直線之間的夾角


所以最終我們還是要定義平直空間中的兩直線夾角


說到平直空間，很多人認為首先是一維平直空間的概念，即直線的概念，實際上我們並不能孤立定義一條直線，因為直這個概念本身由角度來定義，在我們沒有定義角度前，扯直線的概念就等於是循環定義（角度由直線定義，直線又由角度定義，實際上兩者都是架空的定義）
所以我們首先討論的是面結構（未必是平面，因為你還沒定義角度，平面的平也是靠角度定義的，但是曲面不需要依靠角度來定義，所以說曲面更具有一般性）
我們還要強調的是我們這裡談論的曲面都是光滑曲面，它不僅由光滑曲線構成，而且所有構成它的光滑曲線之間的組織方式也是光滑的（這不是數學語言，數學語言會涉及到各種可導性，還會考慮到那些分形曲線和分型面結構，那對我們來說太複雜，而且和本主題沒多大關係，所以我們用一種不太專業但比較直觀的說法來描述這個問題）
當我們隨意取曲面上任意小的一個部分，這個小曲面內肯定包含了兩條小的相交曲線，它們只有一個交點（如果不止一個，那說明我們取的小曲面還不夠微小，還要更小，直到只剩下一個交點）
在這種條件下，我們要求所取的」小曲面「滿足：
所有通過這兩條小曲線的那個交點的小曲線之間都不再有另外的交點
通過這個共同交點的所有小曲線形成一個曲線族，我們將它們稱為經向曲線族，我們可以將它們共同的交點定義為原點，其經向坐標為0，即所有小曲線上的一維自然坐標系都把這一點作為0坐標點重新規劃坐標系，而且我們知道原點把每一條經向曲線分為兩部分，一部分的坐標沿著曲線正向增大，一部分的坐標沿著曲線負向減小

把一個我們選好的小曲面部分放大後的樣子，紅線和藍線為我們最先選取的那兩條線，黑線是和它們通過同一交點的曲線族（的幾個代表成員）



然後我們以那個交點為中心，畫一個任意的圈（形狀可以不規則，但仍然必須是光滑曲線，既然說它是圈，那就必須是條封閉曲線），並保證它絕對不通過那個交點：

類似地我們還可以畫更多的圈，並且加一條要求：
所有的圈之間都沒有交點

假定我們畫了無數個圈，它們可以稱之為同心圈族，也是一個曲線族，我們把它們稱為緯向曲線族，然後我們給出一個新規定來調整緯向曲線族：
同一條緯向曲線圈與所有經向曲線有且只有一個交點，這一系列交點與經向曲線族的原點（也就是緯向曲線族的共同的中心）之間的長度都相等（請注意這裡用到了前面說的曲線長度的概念）


這樣我們重新做一些規定：
1-----同一條緯向曲線圈上所有的點的緯向坐標（紅）都相等
2-----同一條經向曲線上所有的點的經向坐標（藍）都相等
最後就是這個樣子：

原點的經向坐標是任意的，但緯向坐標是0（確定的）
這個類似我們地球儀上的經緯網絡，經緯網絡就是用經緯兩個曲線族來規劃球面的二維坐標系，只不過坐標的數值設定和我們這裡不同


【注】別看我圖中畫的緯線圈全是橢圓，實際上可能是不規則的光滑封閉曲線形狀，別忘了我們是在曲面上說事，我們的曲面可能各種凹凸不平，我畫成橢圓只是為了畫著省事

另外，原則上來說，當我們選取的小曲面足夠小時，它已經近似為平面了，但是我們為了讓大家時刻記得我們是在曲面上說事，所以我畫的還是曲面（有些誇張）

現在我們要定義 類似平移 和 局域平面 的概念：
當我們在之前取的那個小曲面上建立了一個經緯坐標系之後，我們嘗試在這個小曲面上移動這個經緯坐標系，即保持它的面結構（我們之前總結的兩條規定）關係不變來移動整個經緯坐標系
移動後的小曲面上新舊坐標系位置我們用不同顏色標出（紅新藍舊）：

如果我們所作的移動能夠保證任意同一條經向曲線（緯向曲線我們不在乎）在新舊坐標系位置上的兩個」分身「沒有任何交點（在我們的小區面區域內），我們稱這個移動叫 類似平移（物理中的平移都是類似平移，而不是數學中嚴格定義的平移）
如果我們把舊坐標系移動到小曲面內任意的位置時，都能找到至少一種 類似平移 的移動方式使新舊坐標系中同一經向曲線的兩個分身沒有任何交點（但不表示所有新坐標系中的同一條曲線的諸多分身之間沒有交點，因為有時候為了達到無交點的目的我們會對坐標系進行轉動，當然我們現在沒有定義角度，還不能用到轉動這個概念，但是你心裡可以大概有數，轉動的情況可能存在），我們稱這個小曲面是個局域平面


實際上在物理中，我們通常談到的平面，都是局域平面，我們不需要去研究數學中嚴格定義的真正的平面，局域平面對物理中的空間問題來說已經足夠用了


我們之所以要談經緯坐標系和類似平移、局域平面這些概念，是因為我們的主題」角度「需要這些概念來支撐，現在萬事俱備，我們進入正題：


假定現在有兩條相交曲線（注意不是我們前面說的微小曲線，是真正的大曲線）：

它們有一個交點，我們想要知道交點附近的平面空間結構的情況，並以此來描述兩條曲線之間的位置關係（實際上是定義夾角）
那麼我們在交點處選擇一個儘可能小的小曲面，我們可以無限縮小選取範圍，使得選取的小曲面無限近似是一個局域平面（移動它內部一個任意的經緯坐標繫到它內部任意位置，新舊坐標系中同一條經線都沒有任何交點），並且我們以那個交點為原點建立一個經緯坐標系（要包括這兩條曲線在小區面內的部分也作為經線）

我們定義：由原點某一側紅線為起始，其經向坐標為0，任找一條緯線圈，與該經線相交的點為起點（其經坐標當然是0），令緯線圈總長度為2π來標定緯線圈的一維緯向坐標系（經坐標系），按圖中方向（逆時針）令經坐標遞增

過這條緯線圈上任意一點都一定有且只有一條經線，該經線的經坐標就是緯線圈的自然坐標系中該交點的坐標
實際上緯線上有無數點對應於0~2π之間的所有實數坐標，因此就可以有無數條經線分別於每一點處於緯線相交
則我們可以得出，按照逆時針方向來看，經線的經坐標在遞增，直到回到0經線為止（0經線即2π經線）


由此我們可以在經緯坐標系中找到最初藍線對應的經坐標9π/16：

實際上，由於藍線是曲線，而且當我們選取不同大小的緯線圈時，會與藍線有不同交點，按同樣規則來定義經緯坐標，小的緯線圈與藍線交點對應的經坐標可能與大的緯線圈不同

數學上通常規定：當選取的緯線圈越來越小不斷趨近於經緯坐標系原點時，按照上述方法給藍線找到的一個經坐標，在數學上會有一個極限值，這個極限值叫做」紅線到藍線的轉角「
它就是我們常說的兩條曲線之間的夾角的概念（與數學上用直線定義的夾角概念等價，但我們介紹的這種定義方法可以迴避掉直線、平面等概念，因為我們不想花篇幅定義這些無關的概念）
【注】經緯坐標系的定義過程其實類似於我們建立一個量角器你懂的

題外話：
我們為什麼要說類似平移，而不直接說平移，因為我們在曲面內移動坐標系，意味著坐標系不能跑到曲面以外的三維空間去，換而言之，被移動的坐標系是會自動變形適應曲面的，只是保持坐標系的那兩條規定不變，因此，這種移動可能不是真正的平移（保持坐標系各部分形狀不變）
而滿足局域平面要求的小曲面也未必就是真的平面，比如說我們可以把一張世界地圖上的南極部分繪製在一個平面上，也可以繪製在球面上，都不影響地圖的經緯坐標繫結構，而我們很清楚這個地圖顯然允許我們隨意移動經緯坐標系，保證經緯坐標系中同一條經線的新舊位置殘影之間」平行「，這個結論我們可以輕易從平面上繪製的南極地圖看出，它也同樣在球面南極地圖內成立
因此事實上我們單憑這種平移限定是無法絕對確定一張曲面是否是平面的


因此很多時候我們會懷疑，我們的三維世界是不是真正的平直三維空間，是否只是某種類似平直的三維空間，實際上只是更高維空間的一部分？
這個問題目前尚無答案，因為從整個宇宙的角度來看，我們周圍的空間就相當於一個局域的平直空間，它只能反映它附近的空間特性，而不能反映廣大空間的整體性質


所以我們說物理學中的平移都是指類似平移，而物理學中的平面都是指局域平面
類似地，直線也只是局域直線，三維立體也只是局域的平直立體空間


局域性是物理學中一個很深刻的主題，我們這裡只是稍帶提到它，說實話這只是冰山一角

待續

【物體長度】
提到物體的長度，我們回顧一下前述的空間長度（距離）的概念：
在空間長度（距離）概念中，我們定義的尺是會適應空間本身的彎曲形狀而變形的，例如一維尺可以在測量一維空間容量時，隨著一維空間（一維曲線）的形狀彎曲，因為尺就在這個空間內
但是當我們用尺去測量空間內的其他物體的時候，這就不是測量空間本身的容量了，尺是不會適應被測量物體的形狀而變形的，因為尺獨立於被測物體之外


例如我們測量一條曲線段的長度，我們定義這條曲線段的長度是當我們把它拉直之後，用直尺去測量它兩端坐標之間的坐標差得到的長度，尺不會改變自身去適應曲線段，而曲線段要做形變（哪怕只是理論上想像的形變，即用相關數學手段去獲取它被拉直的效果，參見微積分學中的曲線長公式）


我們這裡不會給出曲線長公式，我們只說說為什麼一個彎曲的曲線比直線要長，順便說說這個定理為什麼並不絕對成立


我們還是要具體說物體長度的測量，即我們是怎樣把一個彎曲物體拉直的
當我們默認測量者所在的空間為平直空間時，我們可以用勾股定理來很方便地說明曲線為何比直線長：

圖中的紅橫線對應紅圓的半徑，藍斜線對應藍圓的半徑，我們知道圓越大對應它的半徑越長，所以藍線必然比紅線長
而之所以如此，是因為根據藍線長度公式：
藍線長度=√（紅線長²+黑線長²）
雖然黑線並不在藍線方向上，但黑色豎線對藍線長度有正值貢獻


而我們隨便看一條曲線，它可以近似為折線：

綠線和粉線的長度都是一樣的，但藍線都比對應的紅線多了灰線的貢獻（類似前面勾股定理的例子），所以藍線都比紅線長，因此折線總長比橫直線要長，我們看到曲線的長度和折線很接近，因此可以很容易看出曲線要比橫直線長


在數學分支---解析幾何中，只要將曲線分割成做夠多的足夠小的部分，就可以把這些小部分近似成小折線（或者說是曲線各點處的一個微小的切線段），用曲線函數分別計算它們的斜率（即小折線位置處曲線函數對橫坐標的導數，對應於小斜線橫縱長度分量之間的比值），就能用勾股定理計算每一小段的長度，然後把所有微小的斜線長度相加得到整條曲線的長度，這是一個積分（積分就是對無數個微小單元的值求和，它相當於一個求和運算，只不過它的加數是無窮多個，所以它是個數學極限）


我們上面一段話其實已經給出了曲線長公式的推導思路，不過我們不想就這個話題說更多，有興趣的朋友可以自己去查資料






當一個物理問題擺在我們面前時，我們如何去判斷它要研究的是空間長度（距離）還是物體長度呢？
正如我們前面說的，當測量者本身處於被測物限定之下，例如我們被空間所容納，我們的尺也被空間所限制，這時我們的尺如果以空間本身的兩點間部分作為測量對象，那就是測量距離，尺要隨著空間本身的彎曲形態變形
如果被測物體並不能影響觀察者和他所用的尺，那麼這時測量的就是物體的長度，尺還是隨著空間本身的彎曲形態變形，而並不隨著被測物體的彎曲形狀變形
在經典力學中，這個區分並不重要，因為經典力學認定空間是平直的
在相對論中則認為空間會發生彎曲（有時間分量上的貢獻），因此做上述概念區分尤其顯得重要

【位矢（位置矢量）】
物理學中研究時間時通常忽略時間的方向，把時間視為一個標量（只有大小），因為我們默認時間的方向是單一不可逆的（這個目前為止還沒有發現反例）
物理學中的 位置 這一概念，則通常是個矢量（有大小又有方向的量），因為物理問題中空間方向至少為兩個（一維情況下），方向這個因素不能省略
舉一個最直觀的例子：
已知有一條走廊，維德的房門在走廊正中間，維德現在站在走廊中，他的位置就可以用一個矢量表示，即從維德的房門指向維德的一個矢量（方向），大小是房門到維德的長度（距離）
如果我們考慮更複雜的情況，例如地球上的一個衛星監測站正在監控繞地軸飛行的某一處於赤道平面上的衛星，那麼衛星的位置就是：

從監測站指向衛星的一個矢量，大小是此時監測站到衛星的距離，很方便吧


位矢的概念的最大優點並不只是用起來方便
我們看下圖：對於相同的一個位矢來說，無論我們以它的起點為原點規定何種坐標系統，這個位矢本身永遠是不變的，因此在物理中只要用位矢來確定位置，就可以在研究問題時完全不考慮坐標系環境，這會大大簡化問題的處理

因此，在物理學（尤其是理論物理）中，只要談到 位置 這個概念，通常說的就是位矢（位置矢量）
另外，矢量具有一個特點，它滿足平移不變性，即對這個矢量進行任意平移操作，矢量的大小和方向都不變（也就是矢量不變）
因此在研究物理問題時，可以通過平移矢量很方便地比較兩個矢量之間的大小關係和方向關係，位矢同樣可以用這種手段進行比較

【軌跡方程（軌道方程）】
試想把一個運動物體在每一時刻的位置點都畫在同一張圖中，一定可以形成一條運動曲線，物理學上把這條曲線叫做運動物體的軌跡
當我們以觀察者為中心建立了一個坐標系，那麼運動物體的這條「軌跡」中的每一點都可以在這個坐標系內定位（用位矢 或者 用坐標）
如果我們把軌跡中的每一點P的位置r與它對應的時刻t（請注意，物理書中有時會寫作「時間」，但你應該清楚「時間」在這裡專指時刻，而非其他時間概念）相對應，形成一個函數：
r(t)
這個函數叫做位置函數，表示點P的位置r隨著時刻t的變化而變化
當這個函數滿足某種數學條件P時，可以寫成方程形式：
r(t)=P
這裡條件P可以是常數或者函數（請注意：r(t)=P形式通常叫做 解形式，不是所有軌跡方程都一定要寫成解形式，相反地，絕大多數條件下軌跡方程都寫成非顯式形式，即其中根本不含有位置r這個變量，而是含有諸如坐標x,y,z等變量的形式）
那麼這個方程r(t)=P叫做物體的軌跡方程（軌道方程）


當我們用位置矢量r↑表示位置r時，該方程就變成r↑(t)=P，稱為位矢軌跡方程
當我們用坐標(x,y,z)等（還可以有其他類型坐標系下的坐標，例如球坐標或者柱坐標）表示位置r時，該方程就變成r(x,y,z)=P


例如一個勻速圓周運動的具體例子：

紅色為軌跡方程（滿足條件是位置矢量的大小恆等於圓周半徑R），它是解形式的軌跡方程


藍色為軌跡方程的參數方程形式，即分別表示出了直角坐標系下橫縱坐標的方程並聯立成方程組，時間t為參數
粉色為消掉參數以後的軌跡方程
藍色和粉色這兩種非顯式（不明顯含有位置r）的形式才是最常見的軌跡方程形式

待續

恭喜本帖上首頁了

回覆：12樓

回覆：9樓

時間也有方向？

回覆：14樓

原則上來說是有的

通常在運動力學中默認為事件發生的時序方向

或可在熱力學中認為是熱力學系統自然熵增的方向

這兩種對時間方向的規定尚無理論聯繫，目前只是默認這兩種規定得到的時間箭頭方向是統一的（但無理論論證）

【運動（微分）方程】
運動力學中有各種動力學物理量（例如位置、時刻、動量、能量、速度、力、力矩、作用量等），在某些問題中，它們可能會滿足某種數學條件，從而可以寫成方程的形式，所有這些可以用來最終求解運動學物理量的方程，統稱為運動方程


最著名的運動方程有：
牛頓定律F=ma
質能方程△E=△mc²


我們前面提到的軌跡方程也是一種運動方程，因為它主要描述的是坐標或位矢隨時間變化的函數所滿足的數學條件，原則上可以解出坐標或位矢，而坐標和位矢都是動力學物理量



運動方程中含有微分或導數形式的運算時，運動方程被稱為運動微分方程
運動方程一詞很多時候被作為運動微分方程一詞的簡稱，一般情況下對兩者不做概念區分


運動微分方程舉例（其他力學分支中的）：
拉格朗日方程和哈密頓方程（詳見分析力學部分）
電動力學中的麥克斯韋方程組（詳見電動力學部分）
量子力學中的薛丁格方程（詳見量子力學部分）

【坐標系】
坐標系並不是代表實在物體的概念，而是一種純粹作為概念的概念
坐標系的本質是一個空間位置測量系統（簡稱定位系統），因此，任何一個坐標系必須由長度和角度測量手段共同制定，同時它本身一定附帶了它所度量的空間的維結構特徵


最基本的坐標系是坐標軸，這是一種一維坐標系，我們在沒有確認該坐標係為直線坐標系前，通常把它視為一個自然坐標系：

任何一個坐標系都有原點（坐標為0的點）
任何一個坐標系都有方向（沿著指定的正方向，坐標數值遞增，反之遞減）
坐標系用刻度來度量自身，這表明坐標系直接適應自身的空間結構
坐標系按某種規則參考這些刻度去度量其他被測對象獲得 坐標 作為度量結果（具體度量規則取決於坐標系的坐標制定規則）


常見坐標系：
1----數軸
如上圖，物理中通常並不默認數軸必須為直線，但應該是光滑曲線（含直線）
其上的兩段相等的長度可以通過平移來重合，即滿足長度平移的不變性（類似前面我們說過的尺，因此實際上數軸就是一條尺）
存在於數軸空間（一維）的任意點，均以數軸上與該點重合的點的刻度（實數）為坐標


2----極坐標系
左圖為真正的極坐標系：
經線從原點向外為正向，其上緯坐標遞增，緯線圈逆時針為正，其上經坐標從0到2π遞增，0與2π重合
右圖為簡記圖，以r代表緯坐標，以θ代表經坐標
這樣的極坐標系同時以一個長度和一個角度共同來為坐標系二維空間內一點定位，其方法是：
（緯坐標，經坐標）
例如圖中黑點位置記為(r,θ)=(5,5π/4)

3----平面直角坐標系
左圖為真正的平面直角坐標系：
緯線沿水平方向向右為正向，經坐標x遞增
經線沿豎直方向向上為正向，緯坐標y遞增
右圖為簡記圖
這樣的坐標系同時以兩個長度共同為坐標系二維空間內一點定位，其方法是：
（經坐標，緯坐標）
例如圖中黑點位置記為(x,y)=(-4,-3)

你也許會問，這樣的坐標系似乎和角度測量無關？
事實是顯然有關，任意一條經線和任意一條緯線之間是互相垂直的，這個角度必須由某種角度測量手段來制定
事實上，二維空間與一維空間的本質區別就是增加了角度這種空間結構元素，任何二維空間都不可能脫離這一元素來構成自己的空間結構

【坐標變換】
二維空間內同一點，在極坐標系和直角坐標系下的位置分別寫作(r,θ)和(x,y)
它們雖然定位方法不同，但畢竟是描寫同一點的位置的
如果我已知了極坐標系下的某一點的坐標，我想要知道它在直角坐標系下的坐標，怎麼辦呢？

這就要用到坐標變換


所謂坐標變換，就是兩個不同坐標系的坐標之間的通用數學規律，通過這個規律能夠在由當前類型的已知坐標值計算出另一類型的未知坐標值
例如：

上圖中，已知該點極坐標系位置(r,θ)可以通過聯立的兩個公式計算得到該點直角位置(x,y)
這兩個公式就叫做從極坐標繫到直角坐標系的坐標變換
若已知該點的直角坐標系位置(x,y)，可用下圖公式計算出同一點在極坐標系內位置(r,θ)
下圖兩個公式稱為從直角坐標到極坐標的坐標變換
它是上圖坐標變換的 逆變換

上面的例子是不同類型坐標系之間的坐標變換，在運動力學中，更為常見的是在同種坐標系（原點位置或坐標軸方向規定不同）之間進行坐標變換，我們後面或涉及到相關概念

【位差】
同一觀察者測量不同時刻下的兩個任意位置矢量後，用時序靠後的那個位置矢量減去時序靠前的那個位置矢量得到的矢量差叫做位差
這個概念相當的不嚴格，因此在一些需要嚴格考察概念的動力學理論（如相對論）中，是需要用到這個概念的，以便來嚴格區分具體情況，但在經典力學中用處不大，經典力學中對很多概念不需要做嚴格區分


【位移】
同一觀察者測量同一物體在不同時刻的兩個位置矢量後，用時序靠後的那個位置矢量減去時序靠前的那個位置矢量得到的矢量差叫做位移，按此定義，位移當然也屬於一種位差，但它是一種特殊嚴格的位差
請注意，用來計算位移的兩個位置矢量必須對應於同一物體，位差則不需要這麼嚴格的界定
注意：初級的物理教科書常說距離就是位移的大小，這個是不嚴謹的，距離通常取決於路徑的選擇，有曲線累加成分，而位移的大小通常可能為直線型的（例如在歐式空間）或者其他型的（非歐幾何空間，某些情況下位移大小只是個差值，也許根本對應不上路徑）


【泛平均速度】
任意位差與任意時間差之比加上一個方向規定後得到的物理量稱為泛平均速度
在大多數的動力學理論中，只要提到速度，通常其實都是指泛平均速度（但通常直接稱之為平均速度而不使用全稱泛平均速度），但在一些嚴格區分概念的動力學理論（如相對論）中，泛平均速度是與真正的平均速度不同的概念，請注意識別
很多理論中，位差與時間差之比通常被保留為標量，所以要另加一個方向規定使之成為矢量


【連續運動】
在平滑連續的空間結構和連續平滑的時間結構中運動的同一物體的運動過程中取一段時間上連續取值的運動過程，該運動過程稱為連續運動
在該運動所持續的時間範圍內，物體在任意時刻都對應了一個位置矢量，且位置矢量對時刻可以求任意多階導數


【平均速度】
在某一物體的連續運動過程中，取兩個時刻t1和t2，t2的時序比t1靠後，我們要求t和t1是同一觀察者在同一地點測量的兩個不同時刻，因此它們之差△t=t1-t是個時段
如果t1時刻該物體的位置矢量是r1↑，t2時刻該物體的位置矢量是r2↑
則△r↑=r2↑-r1↑是個位移
那麼比值
ū↑=△r↑/△t
=(r1↑-r↑)/(t1-t)稱為t1到t2時段內的平均速度


【瞬時速度】
只有在平滑連續的空間結構和連續平滑的時間結構中作連續運動的同一物體，才存在瞬時速度的概念
在指定時刻t時，物體處於某一位置，對應位置矢量為r↑，則我們可以嘗試在t之後尋找一個非常接近t的時刻t1，該物體在t1時刻的位置為r1↑，我們要求t和t1是同一觀察者在同一地點測量的兩個不同時刻，因此它們之差△t=t1-t是個時段，△r↑=r1↑-r↑是個位移
我們可計算得到一個平均速度：
ū↑=△r↑/△t
=(r1↑-r↑)/(t1-t)
由於時空都是光滑連續的，因此ū在△t無限縮小趨近於零的條件下，可以存在一個極限值：
u↑=lim[△t→0]ū↑
=lim[△t→0]△r↑/△t
=lim[△t→0](r1↑-r↑)/(t1-t)
=dr↑/dt
即位置矢量r↑對時刻t的導數dr↑/dt，比如我們最後計算出來這個導數的數值是矢量u↑，則我們把這個極限值（導數值）u↑稱為物體在t時刻的瞬時速度
u↑的大小u叫做物體在t時刻的瞬時速率

瞬時速度是一個比較嚴格的概念，而且並不具有物理上的直觀性，從其定義的複雜可見一斑，但是這個概念非常之重要，運動學理論中通常把這個概念視為重中之重，但它可以精簡表述為：
瞬時速度是從指定時刻t開始的連續運動過程的平均速度ū↑ 在其持續時段△t無限縮短趨於0的條件下取得的一個極限值u↑=dr↑/dt


【勻速運動】
在平滑連續的空間結構和連續平滑的時間結構中運動的同一物體的運動過程中取一段連續運動過程，如果這個連續運動過程滿足條件：
該運動過程中物體在任意時刻的瞬時速度u↑的大小u都相等
則稱這段運動過程為勻速運動
勻速運動很可能也是變速運動（各時刻瞬時速度大小不變，但方向改變）


【直線運動】
在平滑連續的空間結構和連續平滑的時間結構中運動的同一物體的運動過程中取一段連續運動過程，如果這個連續運動過程滿足條件：
該運動過程中物體在任意時刻的瞬時速度u↑的方向都相同
則稱這段運動過程為直線運動
但它可能是變速運動（各時刻瞬時速度大小不同）


【勻速直線運動】
如果一個勻速運動滿足：
該運動過程中物體在任意時刻的瞬時速度u↑的大小和方向都相等（即矢量相等）
則稱這段運動過程為勻速直線運動
勻速直線運動既屬於勻速運動也屬於直線運動


【變速運動】
非勻速直線運動的連續運動過程統稱變速運動
變速運動可能是直線運動（方向不變但瞬時速度大小改變）或曲線運動（方向改變）

待續

【加速度】
此概念最初用於描述速度變化的快慢，但隨著人們對物理學研究的深入，速度概念被精細化，「速度改變的快慢」這一說法已經完全不精確，因此加速度一詞逐漸細分為下面幾個具體概念：
1----平均加速度
2----瞬時加速度
在絕大多數物理學書籍中，通常會對這兩個概念都使用 加速度 這個簡稱，但請根據上下文進行具體識別，加速度 這個詞目前已經沒有獨立的物理學概念與之對應，它只是幾個具體概念的簡稱而已
請注意，相對加速度、牽連加速度（運輸加速度）這些與參照系相關的概念，所有中文物理學書籍都會嚴格給出全稱，因此不含在本概念之內





【剛體】
運動物體上任何2點之間的相對位置都不隨運動發生改變，則這種運動物體被稱為剛體
由定義可知剛體是不隨運動發生形變的物體，而在相對論中運動物體會發生形變，因此相對論中無剛體

剛體的運動分為平動和轉動兩種




【平動】
物體上任何兩點間的連線，在運動前的殘像（直線段）與運動後的殘像（直線段）平行且長度相等，那麼這個物體所作的運動叫做平動

例如上圖直杆的運動，隨然軌跡是曲線，但杆在任何位置時的姿態都是相互平行，且杆長不變，這根直杆所作的就是平動






【轉動】
物體上任意三點間的三條連線在物體運動過程中始終保持各自長度不變，但各自在運動前後的殘像（直線段）不都平行，則物體所做運動為轉動

如圖三角形運動物體的運動過程：紅三角形為物體初始姿態，藍三角形為物體過渡姿態，綠三角形為物體末姿態
三角形物體紅色兩點間連線在物體運動前後保持平行且長度不變，但藍點與兩個紅點的連線雖然保持各自長度始終不變，但同一連線在各個姿態下並不與自己的殘像平行
這個三角形物體所作的運動是一種轉動






【定軸轉動】
如果轉動剛體上存在某兩點在剛體轉動全過程中始終保持各自的位置不變，則這兩點所確定的直線叫做轉動剛體的一個固定轉軸
擁有固定轉軸的剛體所做的轉動叫做定軸轉動
例如上圖中兩個紅點的位置始終不變，則三角形做的轉動是個定軸轉動，兩紅點所確定的直線稱為固定轉軸

【參照系（參考系）】
參照系也叫參考系，是所有動力學中的一個重要概念
這個概念的核心有以下幾點：
1-----參照系是個集成了時間測量標準和空間測量標準在一起的 由測量標準形成的系統，每個參照系都附帶時間和空間兩套測量標準，每一套測量標準給出了一套坐標系，分別是時間坐標系和空間坐標系
2-----觀測者即制定參照系測量標準並利用這套標準測量和描述物理現象的人或者物體，因此參照系的測量標準的核心制定者和使用者是 觀測者
參照系的定位基準就是這個觀察者，在運動學中，參照系被視為是隨著這個觀察者同步運動（含平動或轉動）的
3-----參照系通常對應了「觀察者眼中的世界」，因此如果一個事物在某個參照系中存在（相當於在某個觀察者所看到的世界裡存在），那麼它也在另一個參照系（另一觀察者所看到的世界）中存在
很多人都是因為把參照系視為真實世界而在理解上出現錯誤，導致分析問題出現很多「謬論」，所以我們強調說把參照系及其內部對象視為一種「顯示器影像」更好，只有觀看這「顯示器影像」的觀察者本身是實在的
4-----時間坐標系（實際上是個一維軸）和空間坐標系加上觀察者本身（其中空間坐標系固定在觀察者本身上，隨觀察者運動），就組成了一個完整的參照系，參照系以空間坐標系的空間屬性來容納被觀測物體的「影像」，並且隨著選取不同的時間坐標系刻度，對應了被觀測物體在空間坐標系內「影像」的改變，以此來描述被觀測物體的運動過程
5-----參照系的空間坐標系（的空間結構）可以不是剛體，但在經典力學中，通常將它視為剛體，即使觀察者運動時，固連在觀察者身上的坐標系也不發生形變

如圖所示，若真實的紅球為被觀測物體，則紅球在觀察者眼中的影像（如上圖中所示）被在空間坐標系容納，並在t0、t1、t2三個不同時刻（時間坐標軸上不同的刻度）下的空間坐標系內分別處於三個不同的位置
通過空間坐標系的定位功能與時間軸的計時功能，這個由空間坐標系和時間坐標軸組成的參照系，能夠以不同時刻對應不同影像位置的方式描述一個被觀測物體（紅球）沿著紅曲線的運動


坐標系的原點O點即為觀察者

【胡克引導定律】

用一彈簧連接兩個鐵塊置於光滑冰面上，彈簧之伸縮能使兩個鐵塊產生加速度
我們做如下實驗：
在冰面的立牆處卡住（固定住）鐵塊甲，並用彈簧將鐵塊甲乙連接起來，此時鐵塊乙在冰面上處於自由狀態
我們將彈簧壓縮到一個確定長度L1後，鬆開彈簧，來看鐵塊乙因彈簧伸張獲得的加速度a1

然後我們將被卡住的鐵塊甲換成鐵塊丙，來做同樣的實驗，發現只要彈簧被壓縮到指定長度L1，鐵塊乙因彈簧伸張獲得的加速度a1始終相同

我們繼續將被卡住的鐵塊換成其他各種鐵塊，重複上述實驗，仍發現：

只要彈簧被壓縮到指定長度L1，鐵塊乙因彈簧伸張獲得的加速度a1始終相同，此結果與被卡住的鐵塊完全無關

然後我們做下面的實驗：將上述實驗中彈簧被壓縮到的長度改為L2，發現彈簧伸張時使得鐵塊乙獲得的加速度變為a2，且當我們更換被卡住的鐵塊時，對此結果毫無影響

我們嘗試修改彈簧被壓縮到的長度為L3、L4、L5。。。等等，重複上述實驗，發現每個彈簧長度都對應使鐵塊乙獲得一個加速度a3、a4、a5。。。等等，每個加速度大小隻和彈簧被壓縮後長度有關，與被卡住的鐵塊無關
比較所有數據L1、L2、L3、L4、L5。。。和a1、a2、a3、a4、a5。。。發現一個規律：

如果彈簧自由伸展時原長L0，那麼：

a1∝L-L1

a2∝L-L2

a3∝L-L3

a4∝L-L4

a5∝L-L5

。。。
∝為正比例符號

上述式子右側均為彈簧被壓縮後縮短的長度，我們將它記為x，則鐵塊乙因彈簧獲得的加速度a滿足：

a=Nx

其中N是一個比例常數

現在我們已知道，同一鐵塊在前述彈簧實驗中因彈簧伸張所獲得的加速度滿足a=Nx關係

但不同彈簧伸張時對同一鐵塊產生的加速度a滿足何等規律？

我們對同一個鐵塊更換不同彈簧後重複上述實驗發現，如果給彈簧編號1,2,3。。。等，就能得到一組新公式：

a=N1x

a=N2x

a=N3x

。。。。

我們發現每個彈簧都對應了自己的一個公式，每個彈簧在自己的公式里都對應一個比例係數N，N叫做彈簧的勁度係數（請注意這裡我們沒有考慮不同鐵塊質量的影響，如果你了解力的定義式F=ma以及胡克定律的一般形式F=-kx你就會發現我們這裡引導定律的N比胡克定律一般形式的k少了-m係數）

【注】這裡我們介紹的是【胡克定律】的引導形式，它無需質量、力這些概念的基礎。看過後文大家會發現，此引導形式定律反而可以用來定義【慣性質量】這個關鍵概念

【慣性質量】

在胡克引導定律中我們了解到，同一彈簧擁有確定的勁度係數N，那麼這根彈簧對不同鐵塊產生的加速度滿足何種規律？

我們已知實驗彈簧的勁度係數N，現在找來一系列不同的鐵塊，給它們標號1,2,3。。。。

現在我們用這根彈簧對每個鐵塊做上述實驗（將每個鐵塊都作為冰面上的自由鐵塊使用）

然後對每個鐵塊我們都得到一個公式：

a1=N1x

a2=N2x

a3=N3x

。。。。

對同一根彈簧來說，不同的鐵塊對應了不同的勁度係數N

如果我們設最初那塊鐵塊乙為標準鐵塊，標號為1，那麼a1=N1x這個公式就是我們原來的a=Nx

我們發現a越大，N越大

於是我們意識到有些鐵塊可以天然地從相同伸張條件的彈簧那裡得到更大的加速度，有些鐵塊獲得的加速度卻要小些

 我們可以在數學上直觀得出：

a1=a1N1/N1=a2N1/N2=a3N1/N3=。。。。=anN1/Nn

我們把鐵塊獲得加速度的能力的強弱用一個新的物理量Z來表示，稱之為可加速性，定義為：

標準鐵塊1從標準彈簧那裡獲得加速度a1的能力為 可加速性Z=1

其他鐵塊（標號n）從標準彈簧那裡獲得加速度的能力為 可加速性Zn=an/a1=Nn/N1

有定義可知，任意鐵塊（或其他物體）的可加速性皆可通過把該物體作為自由鐵塊，並使用標準彈簧進行前述實驗來通過公式Zn=Nn/N1測得（由於加速度a對於不同彈簧壓縮量x可變，不宜方便使用，所以取不隨x改變的係數N來確定Z）

物理學家考慮到與【引力質量】這個概念建立聯繫時，Z這個物理量的倒數m=1/Z更為方便，所以物理學上通常把 可加速性Z的倒數m=1/Z稱為慣性，或稱為慣性質量

由此我們知道：

m=N1/Nn

即標準鐵塊從標準彈簧那裡獲得加速的勁度係數N1與非標準物體從標準彈簧那裡獲得加速的勁度係數Nn之比

【經典力的定義】前面我們得到公式：

a1=a1N1/N1=a2N1/N2=a3N1/N3=。。。。=anN1/Nn

可以用質量m重新寫作：

a1=a1m1=a2m2=a3m3=。。。。=an mn

在物理學中，很多時候我們不希望m這個量的量綱因為數學計算而丟失，為避免丟失，就要給它一個非純數的量綱，這樣在數學計算中，慣性質量m的量綱將不會被隱沒於純數量係數中

如果慣性質量有了自己的量綱，那麼上面得到的式子中，標準鐵塊的

a1=a1m1將會不合理，因為右側多了一個【質量】量綱，所以這種寫法將被禁用

當慣性質量m擁有自己的量綱後，加速度a和慣性質量m相乘為ma的形式所代表的物理量就不再是加速度a本身，它將有一個新的含義，就是 力

經典力學中定義【力】的概念如下：

F=ma

能使一個質量為m的物體獲得加速度a的物理量，叫做力F

或可表述為：

能給一個質量為m的物體提供加速度a的物理量，叫做力F

考慮到加速度為矢量（有大小和方向），而慣性質量通常默認為標量，因此二者乘積得到的【力】也是矢量，方向與其產生的加速度a相同

【注】本標題強調是經典力的定義，因為在相對論中，此定義不成立

【力的三要素】

力為矢量，有大小和方向兩大要素，此外力不是任意位置存在的矢量，如果我們在空間中一點處能檢測到力（即物體處於空間中該點處時能獲得相應加速度），那麼這一空間點稱為【力的作用點】，力的作用點是力的第三大要素

【真實力】

一個物體A（例如彈簧）對另一質量為m的物體B提供加速度a↑，則A稱為力F↑=ma↑的【施力者】

B稱為力F↑=ma↑的【受力者】

在某個參照系內能找到施力者的力都稱為【真實力】，否則：

若某個力找不到施力者，它被稱為【贗力】

【慣性運動定律（牛頓第一定律、慣性參照系定義）】

在某些參照系內的觀察者，觀察某些物體時，如果能發現這些物體不受外力時一定會做勻速直線運動，那麼這個觀察者所在的參照系被稱為【慣性參照系】（簡稱【慣性系】）

慣性系中，不受外力的物體一定做勻速直線運動，這就叫做【慣性運動定律】

簡而言之，慣性運動定律嚴格成立的參照系都叫慣性系，不嚴格成立的參照系都叫【非慣性系】

此定律最早由艾薩克·牛頓總結出來，成為冠以他大名的第一定律

讀者可能會發現此處內容與中學教科書不同

歷史上，牛頓第一運動定律曾經被認為是在任何參照系內動成立的，因為中學教科書不考慮非慣性系的複雜情況，所以通常默認「物體不受外力時一定勻速直線運動」總是對的，但實際上這說法在非慣性系內不總是成立

所以，現代比較嚴謹的說法是牛頓慣性運動定律只在慣性系內嚴格成立

【合力作用定律（牛頓第二定律）】

施加於一個物體的所有外力的總和F合，等於該物體質量m與該物體所獲加速度a的乘積：

F合=ma

【注1】在【非慣性系】中，需要人為引入並不真實存在的【贗力】來應用這個定律，在非慣性系中被引入的【贗力】並沒有施力者，只是對物體產生了加速度，所以我們用這個加速度a和被【贗力】加速的物體的質量m相乘得到一個【贗力】F=ma，由於它是在非慣性系中被引入，所以被稱為【慣性力】

【注2】在狹義相對論中，牛頓第二定律不成立

【反力定律（牛頓第三定律）】

一個有施力者的真實力F=ma（這裡m為受力者慣性質量，a為受力者所獲得的加速度），其施力者必然也受到一個反力（有些書上用全稱【反作用力】）-F

由於F為矢量，因此-F表示與F大小相等，方向相反的力

顯然，反力-F的受力者是F的施力者，反力-F的施力者是F的受力者

【注1】所謂的【贗力】沒有反力！因為它沒有施力者。

【注2】中學教科書常說互為反力的一對力同時出現或改變，但在相對論中鑑於【同時相對性】的存在，反力F並非與-F同時出現或改變

題外話：

上文中所給出的【力】的概念，以及與【力】有關的運動定律中，力的形式都是F=ma

在理論物理中，力還有一種定義形式是F↑=dP↑/dt

由此還可引出牛頓三定律的微分和積分形式，但嚴格來說這些都是後人修正過的牛頓定律，所以，本帖後文將直接在守恆律或守恆量的內容里去介紹修正後的牛頓定律

【角位置】
在一個平面（或微小平面區域）上，如果我們規定了角度的度量規則（如前文【角度】條目內的介紹），則可以通過此規則來度量某一通過此平面（或微小平面區域）的直線的角度
對平面與直線而言，前面【角度】條目的規定即可用
但對於曲面和其上的曲線而言，【角度】條目中將角度取值範圍定為0~2π則不合適
【角度】條目中我們規定了一套角度坐標系統（量角器），用來度量角度，若令被測直線在某時刻位置的像通過【角度】條目中我們規定的量角器的原點（經緯坐標都是0的那點），則可以發現該直線與量角器某一經線重合，則該經線的角度坐標就是這條直線的角位置


【注】角位置通常被視為標量，量角器原點不變的條件下測量的兩個角位置之差為角度差，也是標量
但需要注意的是，角位置是贗標量（本帖不介紹）








【右手螺旋定則】
給定一個角度量系統（即物體在坐標系內的位置坐標含有角度描述方式的那種坐標系，也說明此坐標系給定了角度度量規則），則該度量系統中的角度度量方向（角度值增大的方向，或稱角度度量正方向）已經指定，則可按照下述【右手螺旋定則】將角度增大趨勢方向（一曲線所規定的方向）轉化為一個直線方向：


具體規則是：四指蜷曲趨勢與曲線相同，指尖趨向與曲線上規定的角度度量正方向一致，立起大拇指使之指向垂直於曲線所在平面，則大拇指指向就是曲線上規定的角度度量方向轉化為直線方向後的結果
利用這個【右手螺旋定則】，可以將轉動趨勢的描述變成對應的直線方向，對於用矢量運算處理轉動問題好處極多
此定則與矢量運算中的【右手定則（弗萊明右手定則）】相似但本質不同，請注意區分，【右手定則】用於確定兩個相乘矢量的積矢量方向（屬於數學運算規定），【右手螺旋定則】用於將旋轉趨勢轉化為直線方向來描述（屬於物理描述方式規定）






【角位移】
在一直線在某平面內繞定點轉動過程中，只要指定合適的角度測量規則，直線在每一時刻有一角度值，時序靠後的角度值減去時序靠前的角度值所得的角度差為一有正負號的標量，物理學中規定角度差為正值時，直線所作轉動的轉動趨勢是沿著坐標系角度度量正向進行的，此時可以用【右手螺旋定則】將直線轉動趨勢轉化為一個直線方向：
四指蜷曲趨勢與轉動趨勢相同，立起大拇指使之指向垂直於任一蜷曲手指抽象出的曲線所定平面，則大拇指指向就是所求直線方向

現在規定一個「矢量」：其大小等於角度差的絕對值，方向為上面用【右手螺旋定則】所確定的直線方向
這樣的一個新的「矢量」叫做角位移「矢量」，簡稱角位移
【注】角位移為一個【贗矢量】，也是個瞬時量








【旋轉反射變換】
將一個量K關於某個對稱軸旋轉後，再用一面垂直於轉軸的鏡子對該量K作鏡像，這種操作稱為旋轉反射變換
矢量經過旋轉反射變換後，方向不變，而【贗矢量】經此變換後方向改變

實例：


環形電流矢量（藍）是個真正的矢量，它的鏡像總是遵守鏡像規則
磁感應強度矢量（紅）是個【贗矢量】，它的鏡像總是不按常理出牌，非要反著來






【角速度】
角速度矢量ω↑是角位移矢量θ↑對時間t的一階導數：
ω↑=dθ↑/dt
所以，按照矢量對標量除法的運算法則，角速度方向和角位移方向相同
【注】由於角度常用弧度制【純數量量綱】，於是角速度的量綱就成了[1/T]，時間量綱的倒數
角速度矢量也是一個贗矢量，因為它的方向也是利用【右手螺旋定則】從轉動趨勢得來：

【質點】

在某些條件下，為簡化問題而將有質量的物體的體積與形狀忽略（條件就是物體的空間度量和空間結構特徵不會對問題結果產生影響，或影響可以忽略），視為一個有質量屬性的點實體，稱為質點。
質點與空間點的本質區別在於空間點不具有實體性，而質點有實體性（實體性可能指許多含義，常見的有【可作為正在運動的參照物使用】等，具體有哪些含義視具體問題而定）。








【迴轉半徑/轉動半徑】
三維空間中的一個質點的轉動都是有轉軸（黑）的，轉動質點形成一條轉動軌跡（未必是閉合曲線）
任何一個時刻下，轉動軌跡上的這一時刻下質點位置處有一條切線（藍），過質點能作一條到轉軸的垂線段（紅），即為垂足點與質點的連線
以這條紅線的長度為大小，以從垂足指向質點為方向，構成一個矢量R↑，該矢量叫做質點在當前時刻的轉動半徑矢量（或徑向矢量），簡稱迴轉半徑（或轉動半徑）










【力矩】
轉動物體的迴轉半徑r↑與所受外力F↑的作叉乘得到的一個二重矢量（有向面積，贗矢量）就是力矩矢量M↑：
即M↑=r↑×F↑
下圖為蹺蹺板終端的力矩示意圖：










【質點系統/質點系】
由若干個（可以為任意非負整數個）質點所組成的一個整體，來作為運動學研究對象，叫做質點系統，簡稱質點系
質點系通常可能有附帶若干隱含規定：
1-----質點間是否存在相互作用力，有何種相互作用力規則
2-----質點間的位置關係是否可變，有何種變化規則
3-----質點間能否識別轉動差異，以何種方式識別轉動
4-----質點是否受到約束，受到何種約束
5-----質點是否可被其他質點穿透
6-----質點間是否形成連續結構，形成何種連續結構
。。。
諸如此類，具體問題中所隱含的規定可能各不相同，這些隱含規定通常不會出現於問題題干中，而需要研究者進行探索發現來確認






【離散質點系】
其內所含任意質點之間都不形成任何連續結構，這樣的質點系叫做離散質點系
通常在中學以及大學物理問題中，只要提到【質點系】，指的都是離散質點系，其內每個質點互相都是分立的






【連續質點系】
質點系中任何質點都有相鄰質點與之形成特定連續結構，則此質點系稱為連續質點系
連續質點系中允許存在明確離散邊界（包括內部挖空區域的邊界），也可以不含有任何離散邊界，但給出問題所研究範圍的界面，而界面上的質點與其相鄰質點依舊是形成連續結構的，這都視具體問題而定