設所求向量和x*vecA + y*vecB等於z*vecC，其中角A>=角B，A與B的範圍為[0°, 360°)，那麼：
長度 z = √(x²+y²+2xy*cos(A-B))
當長度z=0時，和為零向量，方向任意。
當z>0時，
對於方向角C：
cos D = (x²-y²+z²)÷(2xz)
D的範圍為[0°, 180°]

若A-B<=180°，則C=B+D
若A-B>180°，則C=A+D

公式中x和y都必須大於0

註：vec A = (cos A, sin A)
A為任意角。
vec A 產生與x軸正方向夾角為A的單位向量。

例1：
求vec 0°+vec 90°
解：
z=√(1+1+2*cos 90°)=√2
cos D=(1-1+2)÷(2√2)=√2 /2
D=45°
因為90°-0°<=180°，所以C=0°+45°=45°
所以vec 0°+vec 90°=√2vec45°

例2：
求2vec 10°+2vec 130°
解：
z=√(4+4+8*cos 120°)=2
cos D=(4-4+4)÷8=1/2
D=60°
因為130°-10°<=180°，所以C=10°+60°=70°
所以2vec 10°+2vec 130° =2vec70°

例3：
求2vec 10°-2vec 70°
解：
因為70°+180°=250°
所以原式等同於2vec 10°+2vec 250°
z=√(4+4+8*cos 240°)=2
cos D=…
D=60°
因為250°-10°>180°，所以C=250°+60°=310°
所以2vec 10°-2vec 70° =2vec310°

回覆：4樓
從2vec 10°+2vec 130° =2vec70°可以得出，一個物體，若受到向右偏上10度的2N的力和上偏左40度的2N的力，合力為右偏上70度的2N的力

回覆：4樓
在公式中設立中間角D主要是為了簡化計算。例如此結果中的70度角不是特殊角，而60度是特殊角，10度已在題目中給出。

特別地，當兩向量夾角為0時，例如3vec0+4vec0
z = √(x²+y²+2xy*cos(A-B))
cos(A-B)=cos0=1
z = √(x²+y²+2xy)
   =√(x+y)²
   =x+y
(x,y > 0)

3vec0+4vec0 = (3+4) vec0 = 7vec0

當兩向量為相反向量，也就是當兩向量夾角為π時，例如2vec0+8vecπ
z = √(x²+y²+2xy*cos(A-B))
cos(A-B)=cosπ=-1
z = √(x²+y²-2xy)
   =√(x-y)²
   =x-y
(x,y > 0)

2vec0+8vecπ = -6vec0 = 6vecπ

回復：13樓

不明覺厲。

回覆：13樓

以水平虛線建立極坐標系。

F1=2vec30°意思是說F1的大小為2N，方向為極坐標系30°方向上

計算器已做出！：
http://zh.arslanbar.net/post.php?t=20636

案例：

昨天晚上發的13F那幅圖算錯了，故重發

 根據計算器
24vec 150 ° + 6.976 vec 294 ° = 18.80869090254656 vec 162.592°