初步理解問題
首先，我們需要明確題目在說什麼。題目說的是：「所有位上的數字加起來是3的倍數的數字是3的倍數。」換句話說，如果一個數的各位數字之和能被3整除，那麼這個數本身也能被3整除。反過來也是成立的：如果一個數是3的倍數，那麼它的各位數字之和也是3的倍數。這實際上是數學中關於3的倍數的一個判別法則。
舉例驗證
為了更好地理解，我先用幾個具體的數字來驗證這個規律是否正確。
例子1：123
• 各位數字之和：1 + 2 + 3 = 6
• 6 ÷ 3 = 2，餘數為0，所以6是3的倍數。
• 123 ÷ 3 = 41，餘數為0，所以123是3的倍數。
例子2：456
• 各位數字之和：4 + 5 + 6 = 15
• 15 ÷ 3 = 5，餘數為0，所以15是3的倍數。
• 456 ÷ 3 = 152，餘數為0，所以456是3的倍數。
例子3：789
• 各位數字之和：7 + 8 + 9 = 24
• 24 ÷ 3 = 8，餘數為0，所以24是3的倍數。
• 789 ÷ 3 = 263，餘數為0，所以789是3的倍數。
看起來這些例子都支持這個規律。那麼，為什麼這個規律會成立呢？我們需要從數學的角度進行證明。
數字的位值表示
任何一個數字都可以根據其位值進行展開。例如，一個三位數ABC可以表示為：
ABC = 100 × A + 10 × B + C
更一般地，一個n位數可以表示為：
N = dₙ × 10ⁿ + dₙ₋₁ × 10ⁿ⁻¹ + ... + d₁ × 10 + d₀
其中，dₙ, dₙ₋₁, ..., d₀是該數的各位數字。
模3運算的性質
我們需要觀察10的冪次模3的結果。因為：
10 ÷ 3 = 3 余 1，所以 10 ≡ 1 (mod 3)
這意味著：
10 ≡ 1 (mod 3)
10² ≡ 1² ≡ 1 (mod 3)
10³ ≡ 1³ ≡ 1 (mod 3)
...
10ⁿ ≡ 1ⁿ ≡ 1 (mod 3)
因此，對於任何正整數k，10ᵏ ≡ 1 (mod 3)。
應用到數字的表示
現在，我們將數字N的表示代入模3：
N = dₙ × 10ⁿ + dₙ₋₁ × 10ⁿ⁻¹ + ... + d₁ × 10 + d₀
N ≡ dₙ × 1 + dₙ₋₁ × 1 + ... + d₁ × 1 + d₀ (mod 3)
N ≡ dₙ + dₙ₋₁ + ... + d₁ + d₀ (mod 3)
也就是說，數字N與其各位數字之和在模3下同餘。
結論
因此：
• 如果各位數字之和是3的倍數，即 dₙ + dₙ₋₁ + ... + d₀ ≡ 0 (mod 3)，那麼 N ≡ 0 (mod 3)，即N是3的倍數。
• 反之，如果N是3的倍數，即 N ≡ 0 (mod 3)，那麼 dₙ + dₙ₋₁ + ... + d₀ ≡ 0 (mod 3)，即各位數字之和是3的倍數。
反向驗證
為了確保我們的證明是正確的，讓我們用之前的例子反向驗證。
例子1：123
• 123 ÷ 3 = 41 余 0，所以123是3的倍數。
• 1 + 2 + 3 = 6，6 ÷ 3 = 2 余 0，所以數字之和是3的倍數。
例子2：124
• 124 ÷ 3 ≈ 41.333... 余 1，所以124不是3的倍數。
• 1 + 2 + 4 = 7，7 ÷ 3 ≈ 2.333... 余 1，所以數字之和不是3的倍數。
這進一步驗證了我們的結論。
推廣到其他進位
有趣的是，類似的規則可以推廣到其他進位。例如，在基數為b的進位中，如果b ≡ 1 (mod m)，那麼一個數在基b下的數字之和是m的倍數若且唯若該數是m的倍數。對於m=3，b=10，因為10 ≡ 1 (mod 3)，所以這個規則成立。
其他類似的規則
類似的規則也適用於9的倍數。因為10 ≡ 1 (mod 9)，所以一個數的數字之和是9的倍數若且唯若該數是9的倍數。例如：
例子：27
• 2 + 7 = 9，9 ÷ 9 = 1 余 0。
• 27 ÷ 9 = 3 余 0。
數學歸納法證明（可選）
為了更嚴謹，我們可以使用數學歸納法來證明這個命題。不過，基於前面的模運算證明已經足夠嚴謹，數學歸納法在這裡可能顯得過於繁瑣。但為了完整性，可以簡要概述：
基例： 一位數顯然滿足，因為數字就是它本身。
歸納假設： 假設對於所有k位數（k ≤ n），數字之和是3的倍數若且唯若該數是3的倍數。
歸納步驟： 考慮一個n+1位數N = dₙ...d₀。可以將其表示為N = 10 × M + d₀，其中M是前n位數。根據歸納假設和模運算的性質，可以推出N的數字之和與N本身在模3下的關係。
不過，如前所述，模運算的證明已經足夠。
可能的誤區
在學習這個規則時，可能會有以下誤區：
1. 混淆數字和與數字本身： 可能會誤以為數字和與數字本身是相同的，但實際上數字和通常比數字本身小得多。
例如，數字999的數字和是27，而數字是999。
2. 忽略反向關係： 可能會只記住「數字和是3的倍數則數是3的倍數」，而忽略其逆命題也成立。
3. 應用範圍： 可能會誤以為這個規則適用於所有除數，實際上它只適用於那些與基數（這裡是10）互質或滿足特定模關係的數。例如，對於除數7，就沒有這樣簡單的數字和規則。
實際應用
這個規則在實際中非常有用，尤其是在快速判斷一個大數是否是3的倍數時。例如：
例子：123456789
• 數字和：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
• 45 ÷ 3 = 15 余 0，所以45是3的倍數。
• 因此，123456789是3的倍數。
驗證：123456789 ÷ 3 = 41152263，確實整除。
擴展到其他數字
雖然我們主要討論的是3的倍數，但類似的規則可以應用於其他數字：
• 9的倍數： 數字和是9的倍數。
例如：18，1 + 8 = 9；27，2 + 7 = 9。
• 11的倍數： 有另一個規則（交替數字和之差是11的倍數）。
數學背景
這個規則背後的數學原理來自於數論中的同餘理論。理解模運算和同餘關係對於掌握這類數字的性質非常重要。對於初學者來說，通過具體的例子和逐步的驗證可以幫助建立直觀的理解，而更深入的數學理論則可以提供嚴謹的證明。
總結
綜上所述，我們可以通過以下步驟證明「所有位上的數字加起來是3的倍數的數字是3的倍數」：
1. 將數字表示為其各位數字與位權的乘積之和。
2. 觀察到10 ≡ 1 (mod 3)，因此所有10的冪次模3都是1。
3. 因此，數字模3等於其數字之和模3。
4. 所以，數字是3的倍數若且唯若其數字之和是3的倍數。
最終答案
證明：
設有一個n位數N，其各位數字為dₙ, dₙ₋₁, ..., d₀，則可以表示為：
N = dₙ × 10ⁿ + dₙ₋₁ × 10ⁿ⁻¹ + ... + d₁ × 10 + d₀
計算N mod 3：
因為10 ≡ 1 (mod 3)，所以對於任何正整數k，10ᵏ ≡ 1 (mod 3)。因此：
N ≡ dₙ × 1 + dₙ₋₁ × 1 + ... + d₁ × 1 + d₀ (mod 3)
N ≡ dₙ + dₙ₋₁ + ... + d₁ + d₀ (mod 3)
即：
N ≡ (數字之和) (mod 3)
因此：
• 如果數字之和 ≡ 0 (mod 3)，則 N ≡ 0 (mod 3)，即N是3的倍數。
• 反之，如果N ≡ 0 (mod 3)，則數字之和 ≡ 0 (mod 3)。
結論：
一個數是3的倍數若且唯若其各位數字之和是3的倍數。
