愛因斯坦說：四維？有啊，時間就是第四維
扯他的蛋去吧。我這裡將要說的四維空間，是指純幾何意義上的思維。
 
在兩百年以前，人們普遍認為數學是一種工具，是要為現實服務的。
然而有一天，人們突然發現，數學可以僅僅是數學，數學可以超越現實。
在這之後的一項偉大成就之一，就是用幾何和推理，推導出了四維空間中物體的幾何性質。
下面要開始咯~
 
在開始想像四維世界的物體之前，我們可以先考慮以下的這個問題：
身為三維世界一員的你，如何向二維平面上的生物描述我們的這個世界呢？
其中一種切實可行的方法是投影法。
首先是最基本的圖形：球。
球在二維平面的投影就是圓。因此，你可以指著一個圓對二維生物說，看，這就是球。
顯然二維生物無法很好的區別圓和球的不同~

為了讓二維生物能對球產生一個直觀的了解，我決定讓這個球穿過他們所在的二維平面

同樣地，我們可以作出立方體的投影。為了方便觀察，我們的立方體是空心的。

二維生物A：這東西就是立方？看起來和方沒什麼不同啊？
 
看上去是沒什麼不同，因為這只是立方的正投影。
但當我們開始旋轉立方體時，令二維生物無法理解的事情就出現了

二維生物A:這東西到底有幾條邊啊？

二維生物B：天啊，這些邊可以互相穿過對方！

以下的這幾張圖都可以看做是立方體在二維平面上的投影因此，在二維生物看來，這些都是立方體


然而正如我們無法理解一個人可以穿過一堵牆一樣

二維生物無法理解為什麼一條邊可以毫無阻攔的穿過另一條邊

除了圓和立方體以外，你可以想像有一盤西洋棋從桌上跌落，於此同時穿過了一個二維平面：

那麼在那個二維平面上的生物就會看到許多奇形怪狀的陰影先是出現，然後是變大，然後是變小，最後消失在他們的世界。

事實上，二維生物能看見的只是三維物體的一層層切面

如果二維物體能將這些切面全部堆疊在一起的話，他們就能還原一個真實的三維物體

可惜的是二維物體無法感知第三維，因此他們不能完成「堆疊」這個操作

因此他們永遠無法看到真實的三維物體

雖然說，身為三維生物的我們無法直接看到四維物體，但我們依然能看見四維物體的三維投影。正如二維生物能看見三維物體的二維投影一般。

首先從最簡單的超球開始，也就是四維空間中的球體。毫無疑問它在三維空間中的投影就是一個球。
正如讓一個三維的球穿越一個二維平面一般，我們假設有一個四維超球正在穿越我們的三維空間此時我們會看到什麼樣的情景呢？

首先你會看見一個點，這個點慢慢膨脹成一個球。

當這個球膨脹到最大時也就意味著那就是是超球的直徑。

然後這個球慢慢變小，超球正在穿出我們的空間，以致完全消失。

雖然說這只是個投影，但你能看見它的紋路！你甚至能從不同的角度欣賞它！

下面是超立方體。

但正如一個三維的立方體能在二維平面上投下千奇百怪的投影一般，我們很難直接想像出超立方體的特性。

在這裡我們就要用到類比推理。

0D：零維，既點。

1D：一維，線。

我可以把一維看做是由兩個端點（零維）構成的。

2D：二維，面。我們可以看到二維中的正方形是由四條線（一維）構成的。

3D：三維，體。一個立方體由六個面（二維）構成。

上圖中的右圖是正方體的二維投影，你能從中數出六個正方形出來麼？

除去中間的那個以及環繞著它的四個，最外面的大正方形也算一個面。

通過上面的幾步推導，我們可以用歸納法得出超立方體的性質。

4D：四維。四維中的超立方體是由八個正方體（三維）構成的。

上圖就是超立方體在三維空間中的投影，從這幅圖裡面我們可以數出8個正方體來。

首先是最中間的一個，然後是環繞著它的六個凹進去的部分，最後是最外面的一個大正方體。

當四維空間中的超立方體開始旋轉時，它在我們世界裡的這個投影也會開始變化

 

 

下面是一個超立方體這在穿過我們所在的空間

 

事實上，當這個超立方體以不同角度切入我們的空間時，我們所看到的圖形也是不同的。

如果我們讓一個立方體的一面和二維平面平行，並將它「按」入二維平面那在二維上將會看見一個突然出現的正方形

 

 

同樣的，如果我們讓超立方體的一個「體」對準我們這個空間

那當它穿越我們這個三維世界的時候，我們是否會看見一個突然出現的立方體呢？

（我不知道，我神馬都不知道~）

 

出了通過投影法來描述四維空間中的物體外，我們還可以通過展開圖來描繪他們

對於三維平面中的立方體，我們可以將它如下展開成六個小正方形

於是我們有理由相信，對於四維中的超立方體，我們可以把它展開成八個小立方體

 

然而，無論我們如何擺放這八個立方體，我們都不能得到一個真正的超立方體

四維可不僅僅只是多一條邊那麼簡單！

下面總結一下四維空間的特性：

要確定四維空間中的一點的坐標，我們必須要用到四個參數（x,y,z,a）。

我們無法感知到四維中多出來的那一個維度，但是我們能看見四維物體的投影。

當四維物體穿過我們的世界時，我們會看到不斷變幻的三維投影，而這些正是四維物體的無數份切片 。

如果我們把這些切片在另一個維度上堆疊起來，他們就會被還原成一個真正的四維物體 。

四維空間中存在著三維空間中找不到原型的幾何體（24胞體）。

 

接下來就是科幻的部分了：

如果身處三維世界的我們不慎進入了四維空間，會看見什麼？

即使是封閉得最嚴密的保險柜，你依然可以從一個「側面」看見裡面的全部內容。不僅如此，你甚至能看見裡面每一顆螺釘的耦合方式。

你能看見自己的肌肉，自己的骨骼，以及血管裡面流動著的血液，就好像你自己被解剖了一樣然而很奇怪，雖然血液就在你的眼前流動，但它們不會灑出來。

世界上所有的牆對你來說都是形同虛設，因為只要你願意，你完全可以從另一個「側面」繞過它。

 

當你從四維空間回到三維世界，你在三維世界裡面的朋友會看到什麼呢？

這取決於你以什麼角度，用身體的哪個部分首先跨越回三維空間。

比如你是先把腳伸進來，那麼你朋友看到的將是在空氣中憑空出現的一雙鞋，這雙鞋慢慢往上張出了一雙小腿然而當你朋友轉到另一個角度看你時，他必然會驚訝得說不出話來

因為他將會看見在你小腿和空氣的交界面是兩個整齊的圓形斷面，就像切開的午餐肉一樣他可以看見你的骨骼，你的肌肉，你的血液它們正隨著你的小腿的出現而不斷地生長！或者說不斷地出現！如果你朋友有膽量用手去摸你的小腿的斷面，他甚至能感覺到不斷出現的斷面將他的手慢慢的頂起來他這樣撫摸著你的「斷腿」，並不會對你造成傷害，除非他用尖銳的物體扎它。因為你只是從另一個維度跨入這個空間而已，這樣做只會把這空間裡原本存在的事物推開就好像掉進水裡的石頭把水排開一樣。

 

如果對四維空間感興趣的，可以看看這個視頻：http://v.youku.com/v_show/id_XNTQ4NTYzNjQ=.html

這個是超立方體的百度百科：http://baike.baidu.com/view/445495.htm

這個是正多胞體，也就是四維空間中的幾何體的介紹：

http://tieba.baidu.com/f?kz=823228885

轉載自：

http://antdiscovered.blog.163.com/blog/static/11436465120101128112541479/