計算機如何自動計算不定積分，是一個長期感興趣的問題，1968年出現的Risch算法，以及在1976年的改進Risch–Norman算法在相當程度上解決了這個問題，這些算法可以自動求解初等函數的不定積分，前提是積分也是初等函數。
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符號積分算法
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參考：https://www-sop.inria.fr/cafe/Manuel.Bronstein/publications/issac98.pdf
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第一種情況，有理函數的積分。
有理函數是兩個多項式的商。根據代數基本定理，多項式一定能在代數閉域內分解為一次多項式的乘積，而在實數域內，則分解成一次多項式和判別式為負數的二次多項式的乘積：  |
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如果上述D是有理函數的分母，那麼通過所謂部分分式展開，可以把有理函數寫成下列形式
 其中P是多項式，Aik,Bjk,Cjk,ai,bj,cj都是實數。 那麼，要計算這個積分，只需要分別計算每一項的積分即可。多項式P的積分容易計算；其餘各項的積分如下： 1. 分母為一次式的k次方：  2. 分母為二次式，k=1： 這裏的判別式4cj-bj^2<0. |
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3. 分母為二次式，k>1：
 這樣就可以遞推式地降低k，直到k=1. |
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這種算法有一個重大缺陷：並沒有什麼算法可以得到所需的因式分解。這並不是說因式分解不存在，而是我們無法通過一種算法求解它。例如，五次方程x^5-x+1=0就沒有根式解。（即使通過特殊函數，也會涉及希爾伯特第十三問題而難以解決）
為了解決這個問題，我們首先需要對分母的因式分解進行限制，保證其有相應的算法。 巨大八爪鱼：從三次方程開始，精確的根式解就很複雜了，有的解含有虛數i，有的解要用雙層根號表示。甚至要用含有根號和虛數i的式子來表示一個實數。
巨大八爪鱼：另外，高次方程經常會遇到實部和虛部都是無理數的虛數解，有時這些無理數要用多層根號表示（三、四次方程）（根號裏面還可能含有虛數i），有時甚至完全無法用根號表示（五次方程以上），只能用有限小數近似值加省略號表示。
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如果多項式f有不可約因式g^m, 但g^{m+1}不是f的因式，那麼f和f導數f'的公因式(f,f')能被g^{m-1}整除，但不能被g^m整除。 我們用這個事實，可以得知公因式h=(f,f')的每個不可約因式的次數比f小1. |
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我們假設f是首一多項式，把相同重數的不可約因式放在一起，設
那麼，首一公因式(f,f')為
於是，我們有
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 上述算法成功把分母的最高重數從m降到了m-1，因此重複上述步驟，就可以把有理積分化約為分母無平方因子的情況。這叫做厄爾米特約化（Hermite reduction）。 |
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根據厄爾米特約化，我們只需要求A/D, deg(A)<deg(D), D無平方因子，這種情況的不定積分。
我們考慮在複數域內對D進行分解，結果是互不相同（因為D無平方因子）的單項式的乘積，因此A/D有部分分式展開
此時，使用複對數，可以把積分表示為 其中C是任意常數。當然，我們是不會滿足於這種表示的，因為它很明顯仍然沒有規避高次方程求根的問題。 |
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這裏的ai顯然等於A/D在單極點ri的留數。設D=D1(x-ri), 那麼不難計算出
 因此，ri是D和A-aiD'的公共零點。根據結式（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90%E5%BC%8F）的性質，ai恰好就是結式 的根（即使得上述結式等於零的t）。 |
