1. 理解基本概念

首先，我们需要明确几个关键概念：TREE函数、Graham数（G64）和G函数。

TREE函数

TREE函数是组合数学中一个极其快速增长的函数。TREE(n)表示满足某些特定条件的n-标记树的序列的最大长度。具体来说：

• TREE(1) = 1

• TREE(2) = 3

• TREE(3) 是一个非常大的数，远远超过许多其他大数，如Graham数。

TREE(3)之所以著名，是因为它比许多其他大数（如葛立恒数）大得多，以至于用常规的数学符号或递归方法难以描述其大小。

Graham数（G64）

Graham数（通常表示为G64）是罗纳德·葛立恒（Ronald Graham）在研究高维超立方体的拉姆齐理论时提出的一个非常大的数。它是葛立恒序列的第64项：

• G1 = 3↑↑↑↑3（使用高德纳箭号表示法）

• G(n+1) = 3↑↑...↑↑3（有G(n)个箭头）

• G64就是葛立恒数。

葛立恒数本身已经非常大，远远超过许多其他大数，如Skewes数、甚至某些递归函数的值。然而，与TREE(3)相比，G64仍然显得非常小。

G函数

这里的G函数可能指的是葛立恒函数，即用来定义葛立恒数的函数。也就是说，G(n)表示葛立恒序列的第n项。因此：

• G(1) = 3↑↑↑↑3

• G(2) = 3↑↑...↑↑3（有G(1)个箭头）

• ...

• G(64)就是葛立恒数。

然而，问题中出现了G(TREE3)和TREE(G64)，我们需要明确这里的G是否确实指葛立恒函数。假设G是葛立恒函数，那么：

• G(TREE3) 是葛立恒序列的第TREE(3)项。

• TREE(G64) 是TREE函数在G64处的值。

2. 比较G(TREE3)和TREE(G64)

为了比较这两个数的大小，我们需要了解葛立恒函数G(n)和TREE函数的增长速率。

葛立恒函数G(n)的增长

葛立恒函数G(n)的增长速度非常快。具体来说：

• G(1) = 3↑↑↑↑3

• G(2) = 3↑↑...↑↑3（有G(1)个箭头）

• ...

• 每个后续的G(n)都以前一个G(n-1)作为箭头的数量。

因此，G(n)的增长速度是极其迅速的，属于ω+1级别的快速增长层级。

TREE函数的增长

TREE函数的增长速度比葛立恒函数快得多。具体来说：

• TREE(n)的增长速度属于小序数θ(Ω^ω)的层级，这远远快于任何由葛立恒函数定义的增长率。

• 特别是，TREE(3)已经是一个难以想象的大数，远大于G64。

分析G(TREE3)

G(TREE3)是葛立恒序列的第TREE(3)项。由于葛立恒序列的每一项都以前一项作为箭头的数量，G(TREE3)是一个极其庞大的数。然而，葛立恒函数的增长虽然快，但仍然被TREE函数的增长所超越。

分析TREE(G64)

TREE(G64)是TREE函数在G64处的值。由于TREE函数的增长极其迅速，即使输入是一个非常大的数如G64，TREE(G64)仍然会是一个比G(TREE3)大得多的数。这是因为：

• TREE函数的增长速率远高于葛立恒函数。

• 即使对于较小的输入，如3，TREE(3)已经远大于G64。

• 因此，TREE(G64)将是一个比G(TREE3)大得多的数。

3. 直观理解

为了更直观地理解这一点，可以想象：

• G(n)是通过不断迭代箭头数量来增长的，其增长类似于阿克曼函数的更高阶泛化。

• TREE(n)的增长则类似于从更高阶的组合数学结构中产生的，其增长速率远远超过任何由箭头表示法定义的函数。

因此，即使将G函数应用于一个非常大的输入（如TREE3），其结果仍然无法与TREE函数在相对较小的输入（如G64）下的值相比。

4. 数学上的比较

从数学的快速增长层级来看：

• 葛立恒函数的增长速率对应于序数ω+1。

• TREE函数的增长速率对应于更大的序数，如θ(Ω^ω)。

在快速增长层级中，更高的序数意味着更快的增长速率。因此，对于足够大的n，TREE(n)的值将远远超过G(n)的任何值。

具体到我们的比较：

• G(TREE3) ≈ G(f_θ(Ω^ω)(3)) （因为TREE(n) ≈ f_θ(Ω^ω)(n)）

• TREE(G64) ≈ f_θ(Ω^ω)(f_ω+1(64))

由于θ(Ω^ω) >> ω+1，f_θ(Ω^ω)的增长远快于f_ω+1，因此f_θ(Ω^ω)(f_ω+1(64)) >> f_ω+1(f_θ(Ω^ω)(3))。

5. 结论

综合以上分析：

• TREE(G64) 远大于 G(TREE3)。

这是因为TREE函数的增长速率远远超过葛立恒函数的增长速率，即使将葛立恒函数应用于一个非常大的输入（如TREE3），其结果仍然无法与TREE函数在葛立恒数处的值相比。