1. 理解基本概念

首先，我們需要明確幾個關鍵概念：TREE函數、Graham數（G64）和G函數。

TREE函數

TREE函數是組合數學中一個極其快速增長的函數。TREE(n)表示滿足某些特定條件的n-標記樹的序列的最大長度。具體來說：

• TREE(1) = 1

• TREE(2) = 3

• TREE(3) 是一個非常大的數，遠遠超過許多其他大數，如Graham數。

TREE(3)之所以著名，是因為它比許多其他大數（如葛立恆數）大得多，以至於用常規的數學符號或遞歸方法難以描述其大小。

Graham數（G64）

Graham數（通常表示為G64）是羅納德·葛立恆（Ronald Graham）在研究高維超立方體的拉姆齊理論時提出的一個非常大的數。它是葛立恆序列的第64項：

• G1 = 3↑↑↑↑3（使用高德納箭號表示法）

• G(n+1) = 3↑↑...↑↑3（有G(n)個箭頭）

• G64就是葛立恆數。

葛立恆數本身已經非常大，遠遠超過許多其他大數，如Skewes數、甚至某些遞歸函數的值。然而，與TREE(3)相比，G64仍然顯得非常小。

G函數

這裏的G函數可能指的是葛立恆函數，即用來定義葛立恆數的函數。也就是說，G(n)表示葛立恆序列的第n項。因此：

• G(1) = 3↑↑↑↑3

• G(2) = 3↑↑...↑↑3（有G(1)個箭頭）

• ...

• G(64)就是葛立恆數。

然而，問題中出現了G(TREE3)和TREE(G64)，我們需要明確這裏的G是否確實指葛立恆函數。假設G是葛立恆函數，那麼：

• G(TREE3) 是葛立恆序列的第TREE(3)項。

• TREE(G64) 是TREE函數在G64處的值。

2. 比較G(TREE3)和TREE(G64)

為了比較這兩個數的大小，我們需要了解葛立恆函數G(n)和TREE函數的增長速率。

葛立恆函數G(n)的增長

葛立恆函數G(n)的增長速度非常快。具體來說：

• G(1) = 3↑↑↑↑3

• G(2) = 3↑↑...↑↑3（有G(1)個箭頭）

• ...

• 每個後續的G(n)都以前一個G(n-1)作為箭頭的數量。

因此，G(n)的增長速度是極其迅速的，屬於ω+1級別的快速增長層級。

TREE函數的增長

TREE函數的增長速度比葛立恆函數快得多。具體來說：

• TREE(n)的增長速度屬於小序數θ(Ω^ω)的層級，這遠遠快於任何由葛立恆函數定義的增長率。

• 特別是，TREE(3)已經是一個難以想像的大數，遠大於G64。

分析G(TREE3)

G(TREE3)是葛立恆序列的第TREE(3)項。由於葛立恆序列的每一項都以前一項作為箭頭的數量，G(TREE3)是一個極其龐大的數。然而，葛立恆函數的增長雖然快，但仍然被TREE函數的增長所超越。

分析TREE(G64)

TREE(G64)是TREE函數在G64處的值。由於TREE函數的增長極其迅速，即使輸入是一個非常大的數如G64，TREE(G64)仍然會是一個比G(TREE3)大得多的數。這是因為：

• TREE函數的增長速率遠高於葛立恆函數。

• 即使對於較小的輸入，如3，TREE(3)已經遠大於G64。

• 因此，TREE(G64)將是一個比G(TREE3)大得多的數。

3. 直觀理解

為了更直觀地理解這一點，可以想像：

• G(n)是通過不斷迭代箭頭數量來增長的，其增長類似於阿克曼函數的更高階泛化。

• TREE(n)的增長則類似於從更高階的組合數學結構中產生的，其增長速率遠遠超過任何由箭頭表示法定義的函數。

因此，即使將G函數應用於一個非常大的輸入（如TREE3），其結果仍然無法與TREE函數在相對較小的輸入（如G64）下的值相比。

4. 數學上的比較

從數學的快速增長層級來看：

• 葛立恆函數的增長速率對應於序數ω+1。

• TREE函數的增長速率對應於更大的序數，如θ(Ω^ω)。

在快速增長層級中，更高的序數意味着更快的增長速率。因此，對於足夠大的n，TREE(n)的值將遠遠超過G(n)的任何值。

具體到我們的比較：

• G(TREE3) ≈ G(f_θ(Ω^ω)(3)) （因為TREE(n) ≈ f_θ(Ω^ω)(n)）

• TREE(G64) ≈ f_θ(Ω^ω)(f_ω+1(64))

由於θ(Ω^ω) >> ω+1，f_θ(Ω^ω)的增長遠快於f_ω+1，因此f_θ(Ω^ω)(f_ω+1(64)) >> f_ω+1(f_θ(Ω^ω)(3))。

5. 結論

綜合以上分析：

• TREE(G64) 遠大於 G(TREE3)。

這是因為TREE函數的增長速率遠遠超過葛立恆函數的增長速率，即使將葛立恆函數應用於一個非常大的輸入（如TREE3），其結果仍然無法與TREE函數在葛立恆數處的值相比。