【轉載】不同維度的對話：帶你進入四維世界_四維幾何學吧

1樓 4Der 2011-4-23 16:05

上次說到維度時，有人提到了如何理解四維空間的問題。這是一個非常有趣的話題，可是我一直沒有用心寫一下。前段時間網上出了一部片子叫做Dimensions: a walk through mathematics，據稱裏面詳細介紹了四維空間。我本以為推薦一下這個片子就能少寫一篇又臭又長的日誌了的，沒想到下下來看了之後發現該片奇差，不了解四維空間的人看了半天估計還是不了解四維空間。最近放假比較閒，打算慢慢來扯一下。如果你以前從來沒細想過四維空間的話，相信今天你會有一種超凡脫俗的感覺。
現在，假設我是一個二維世界的人，我不能理解什麼是「高度」，什麼是「體」，什麼是「空間」。你想向我描述三維世界中的立方體。你該怎麼說呢？你或許會從立方體的展開圖開始談起：圖(a)就是一個立方體的展開圖，如果我們剪一個這種形狀的紙板，我們可以把它折成一個正方體。我開始好奇了。

2樓 4Der 2011-4-23 16:05

3樓 4Der 2011-4-23 16:06

    - 你說說該怎麼做呢？
    - 先把上面幾個正方形折起來，把對應的邊粘在一起……
    - 等會兒呢等會兒呢，這幾個正方形是穩定的形狀呀，它們的邊怎麼可能挨到一起呢？
    - 傻了吧！在二維世界中它們不是活動的，但是它們可以向第三維度彎折啊！給你畫一個圖(b)吧，這就是把上面那幾個正方形粘合起來的樣子，這就成了一個沒有封頂、還差一面的正方體……
    - 你耍賴！你這樣彎折了之後正方形都不是正方形了，都變成梯形了！
    - 不對，它們仍然是正方形。圖(b)的六塊區域其實都是正方形，只是由於透視作用，它們看上去好像變「斜」了。
    - 嗯，好吧，你繼續。
    - 現在我們得到的是一個有蓋的盒子。上面五個正方形（其中有四個由於處於第三維度而變了形）的「內部」已經形成了「空間」了，可以往裏面放東西了。要想做成一個封閉的正方體，只需要把剩下的那個正方形合上去就行了，最終結果就像圖(c)那樣。
    - 咦？圖(c)裏面，剛才最後要合上去的那個正方形到哪兒去了？
    - 它就是最大的那個正方形。
    - 胡說！那個大正方形是五個小正方形拼成的！這個大正方形剛才在圖(b)里也有！
    - 不是的。圖(b)里的大正方形的確是五個小正方形拼成的輪廓，但圖(c)里的那個大正方形是真實存在的，它就是最後合上去的那一塊。這個大正方形也並不是和那五個小正方形重疊在一起，它們在第三維中的層次是不同的。圖(c)就是你夢想的那個正方體了，它由六個正方形組成。你在圖(c)中看到的一個小正方形，一個大正方形，四個梯形事實上都是正方形，而且它們都一樣大。這六個正方形圍成了中間的那個「空間」。
    - 我還是不明白。那個大正方形也是在第三維度的，為什麼它沒變形呢？
    - 這是因為，這個正方形所在的方向不是第三個維度，因此看上去和原來一樣。
    - 那同一個方向上為什麼又有一大一小兩個正方形呢？
    - 唉，真麻煩。這是因為，它們的朝向雖然一樣，但在第三維度上的位置不一樣。小的那個正方形在第三個維度離我們遠一些，看起來就要小一些。
    - 哦！我有點明白了。是不是說，旁邊一圈那四個「正方形」是跨越了第三維的，因此在第三維空間中一部分離我們近，一部分離我們遠，於是看上去就是由大到小漸變過去的，就像是變形了。
    - 對！你理解得很好！說真的，平時生活在三維空間中，我都還沒仔細想過這一點呢。
    - 我好像真的明白了，說錯了不要笑我哦。那個「空間」啊，說穿了就是大正方形擦着四個變形正方形在第三維度上向遠處的小正方形移動所產生的「軌跡」。
    - 正是正是！
    - 哎呀我徹底明白了。怪不得我們說n維立方體有2^n個點呢，其實道理很簡單。其實只需要把n-1維立方體複製一份，然後對應的頂點相連就可以了。這就是n-1維立方體在第n維發生位移的結果，新增的那2^(n-1)條邊就是點的軌跡。
    - 哎呀，你太他媽牛B了，讀中文系真他媽可惜了。我還給你看一個好玩的東西，讓你看看三維立方體是如何旋轉的。睜大眼睛仔細看好每個正方形都變到哪兒去了。

4樓 4Der 2011-4-23 16:06

5樓 4Der 2011-4-23 16:06

  - 我又糊塗了。為什麼從第三幅圖變成第四幅圖時，遠處的小正方形能夠穿越左邊界，讓其中一小半跑到邊界左邊來？
    - 這個確實不好理解。小正方形並沒有「穿過」那條豎直的邊，那條邊在第三維上離我們更近，而它在我們這個方向上的投影又與小正方形重合了。其實你可以看到，它們之間的拓撲關係仍然是不變的。
    - 哦，於是乎遠處的小正方形就轉到側面去了，然後又轉到離我們近的位置來了，替代了原先大正方形的位置……
    - 回去沒事多想想吧。期待你睡覺時能夠做出一個三維的夢。
    - 好的。謝了。

    好了，現在呢，告訴大家一個秘密，其實我是來自四維空間的人，很多人問我四維立方體是啥樣子的，煩死我了，於是寫下了今天的這篇日誌。

6樓 4Der 2011-4-23 16:06

7樓 4Der 2011-4-23 16:07

現在我告訴你，四維立方體是由8個大小相同的三維立方體組成，其展開圖如圖(a)。圖(b)是粘合出來的四維盒子，還差一個蓋子沒有蓋。這些看起來像稜台的東西其實都是根正苗紅的正方體，只是由於它們在四維空間中位置不同，發生了透視。

8樓 4Der 2011-4-23 16:07

把蓋子蓋上後，我們就看到了傳說中的四維立方體，這個圖形相信很多網友已經很熟悉了。圖上有一大一小兩個標準模樣的立方體，這是第四維度上位置不同但都正對我們的兩個「三維面」。其它稜台其實都是正方體，只是看上去因透視而變形。四維立方體可以看作是三維立方體的移動軌跡，因此畫一個四維立方體很簡單：畫兩個三維立方體，然後連接對應頂點即可。觀察四維立方體的旋轉，你會看到裏面的小立方體穿過一個面跑到了外面，而後又變成了最外面的大立方體。這一切都和二維向三維的推廣是類似的。仔細觀察思考，你還會發現更多可以類比的地方。

9樓 4Der 2011-4-23 16:08

轉載自：http://www.matrix67.com/blog/archives/1323

10樓 118.117.5.* 2011-4-23 16:20

我還有點疑問，6樓圖中其他七個正方體是如何拼的


內容：
用戶名：	您目前是匿名發表。
驗證碼：
	看不清？換一張

	1樓 4Der 2011-4-23 16:05 上次說到維度時，有人提到了如何理解四維空間的問題。這是一個非常有趣的話題，可是我一直沒有用心寫一下。前段時間網上出了一部片子叫做Dimensions: a walk through mathematics，據稱裏面詳細介紹了四維空間。我本以為推薦一下這個片子就能少寫一篇又臭又長的日誌了的，沒想到下下來看了之後發現該片奇差，不了解四維空間的人看了半天估計還是不了解四維空間。最近放假比較閒，打算慢慢來扯一下。如果你以前從來沒細想過四維空間的話，相信今天你會有一種超凡脫俗的感覺。現在，假設我是一個二維世界的人，我不能理解什麼是「高度」，什麼是「體」，什麼是「空間」。你想向我描述三維世界中的立方體。你該怎麼說呢？你或許會從立方體的展開圖開始談起：圖(a)就是一個立方體的展開圖，如果我們剪一個這種形狀的紙板，我們可以把它折成一個正方體。我開始好奇了。
	2樓 4Der 2011-4-23 16:05
	3樓 4Der 2011-4-23 16:06 - 你說說該怎麼做呢？ - 先把上面幾個正方形折起來，把對應的邊粘在一起…… - 等會兒呢等會兒呢，這幾個正方形是穩定的形狀呀，它們的邊怎麼可能挨到一起呢？ - 傻了吧！在二維世界中它們不是活動的，但是它們可以向第三維度彎折啊！給你畫一個圖(b)吧，這就是把上面那幾個正方形粘合起來的樣子，這就成了一個沒有封頂、還差一面的正方體…… - 你耍賴！你這樣彎折了之後正方形都不是正方形了，都變成梯形了！ - 不對，它們仍然是正方形。圖(b)的六塊區域其實都是正方形，只是由於透視作用，它們看上去好像變「斜」了。 - 嗯，好吧，你繼續。 - 現在我們得到的是一個有蓋的盒子。上面五個正方形（其中有四個由於處於第三維度而變了形）的「內部」已經形成了「空間」了，可以往裏面放東西了。要想做成一個封閉的正方體，只需要把剩下的那個正方形合上去就行了，最終結果就像圖(c)那樣。 - 咦？圖(c)裏面，剛才最後要合上去的那個正方形到哪兒去了？ - 它就是最大的那個正方形。 - 胡說！那個大正方形是五個小正方形拼成的！這個大正方形剛才在圖(b)里也有！ - 不是的。圖(b)里的大正方形的確是五個小正方形拼成的輪廓，但圖(c)里的那個大正方形是真實存在的，它就是最後合上去的那一塊。這個大正方形也並不是和那五個小正方形重疊在一起，它們在第三維中的層次是不同的。圖(c)就是你夢想的那個正方體了，它由六個正方形組成。你在圖(c)中看到的一個小正方形，一個大正方形，四個梯形事實上都是正方形，而且它們都一樣大。這六個正方形圍成了中間的那個「空間」。 - 我還是不明白。那個大正方形也是在第三維度的，為什麼它沒變形呢？ - 這是因為，這個正方形所在的方向不是第三個維度，因此看上去和原來一樣。 - 那同一個方向上為什麼又有一大一小兩個正方形呢？ - 唉，真麻煩。這是因為，它們的朝向雖然一樣，但在第三維度上的位置不一樣。小的那個正方形在第三個維度離我們遠一些，看起來就要小一些。 - 哦！我有點明白了。是不是說，旁邊一圈那四個「正方形」是跨越了第三維的，因此在第三維空間中一部分離我們近，一部分離我們遠，於是看上去就是由大到小漸變過去的，就像是變形了。 - 對！你理解得很好！說真的，平時生活在三維空間中，我都還沒仔細想過這一點呢。 - 我好像真的明白了，說錯了不要笑我哦。那個「空間」啊，說穿了就是大正方形擦着四個變形正方形在第三維度上向遠處的小正方形移動所產生的「軌跡」。 - 正是正是！ - 哎呀我徹底明白了。怪不得我們說n維立方體有2^n個點呢，其實道理很簡單。其實只需要把n-1維立方體複製一份，然後對應的頂點相連就可以了。這就是n-1維立方體在第n維發生位移的結果，新增的那2^(n-1)條邊就是點的軌跡。 - 哎呀，你太他媽牛B了，讀中文系真他媽可惜了。我還給你看一個好玩的東西，讓你看看三維立方體是如何旋轉的。睜大眼睛仔細看好每個正方形都變到哪兒去了。
	4樓 4Der 2011-4-23 16:06
	5樓 4Der 2011-4-23 16:06 - 我又糊塗了。為什麼從第三幅圖變成第四幅圖時，遠處的小正方形能夠穿越左邊界，讓其中一小半跑到邊界左邊來？ - 這個確實不好理解。小正方形並沒有「穿過」那條豎直的邊，那條邊在第三維上離我們更近，而它在我們這個方向上的投影又與小正方形重合了。其實你可以看到，它們之間的拓撲關係仍然是不變的。 - 哦，於是乎遠處的小正方形就轉到側面去了，然後又轉到離我們近的位置來了，替代了原先大正方形的位置…… - 回去沒事多想想吧。期待你睡覺時能夠做出一個三維的夢。 - 好的。謝了。好了，現在呢，告訴大家一個秘密，其實我是來自四維空間的人，很多人問我四維立方體是啥樣子的，煩死我了，於是寫下了今天的這篇日誌。
	6樓 4Der 2011-4-23 16:06
	7樓 4Der 2011-4-23 16:07 現在我告訴你，四維立方體是由8個大小相同的三維立方體組成，其展開圖如圖(a)。圖(b)是粘合出來的四維盒子，還差一個蓋子沒有蓋。這些看起來像稜台的東西其實都是根正苗紅的正方體，只是由於它們在四維空間中位置不同，發生了透視。
	8樓 4Der 2011-4-23 16:07 把蓋子蓋上後，我們就看到了傳說中的四維立方體，這個圖形相信很多網友已經很熟悉了。圖上有一大一小兩個標準模樣的立方體，這是第四維度上位置不同但都正對我們的兩個「三維面」。其它稜台其實都是正方體，只是看上去因透視而變形。四維立方體可以看作是三維立方體的移動軌跡，因此畫一個四維立方體很簡單：畫兩個三維立方體，然後連接對應頂點即可。觀察四維立方體的旋轉，你會看到裏面的小立方體穿過一個面跑到了外面，而後又變成了最外面的大立方體。這一切都和二維向三維的推廣是類似的。仔細觀察思考，你還會發現更多可以類比的地方。
	9樓 4Der 2011-4-23 16:08 轉載自：http://www.matrix67.com/blog/archives/1323
	10樓 118.117.5.* 2011-4-23 16:20 我還有點疑問，6樓圖中其他七個正方體是如何拼的

【轉載】不同維度的對話：帶你進入四維世界

回覆帖子