第一类椭圆积分（Elliptic Integral of the First Kind）：F(φ,k)
https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e100.htm

第二类椭圆积分（Elliptic Integral of the Second Kind）：E(φ,k)
https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e101.htm

第三类椭圆积分（Elliptic Integral of the Third Kind）：Π(n;φ,k)
https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e102.htm

长半轴为a，离心率为e的椭圆的周长C等于第二类完全椭圆积分的4a倍。

即C=4aE(π/2,e)

C=2aE(π,e)

证明：

式中E(π,e)称为椭圆的圆周率（椭圆周率），记作π(e)=E(π,e)，e为椭圆的离心率。

椭圆的周长=2×椭圆周率×长半轴=椭圆周率×长轴。

π(0)=E(π,0)=π=3.1415926.......

π(1)=E(π,1)=2

第一类椭圆积分函数F(x,k)的反函数又称为雅可比椭圆幅值函数（Jacobi amplitude）：am(x,k)。

https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html

https://mathworld.wolfram.com/JacobiAmplitude.html

F[am(x,k),k]=x

椭圆正弦函数sn(x,k)是第一类椭圆积分函数的反函数的正弦值：sn(x,k)=sin[am(x,k)]。
椭圆余弦函数cn(x,k)是第一类椭圆积分函数的反函数的余弦值：cn(x,k)=cos[am(x,k)]。
椭圆模弦函数dn(x,k)是第一类椭圆积分函数的反函数的导函数：dn(x,k)=[am(x,k)]'。

sn、cn和dn称为雅可比椭圆函数。

雅可比椭圆函数一共有十二种。普通的sn、cn和dn可以视作“弦类”，它们的比sc、sd、cs、cd、ds、dc可以视作“切类”，它们的倒数ns、nc、nd可以视作“割类”。
sn是椭圆正弦函数。
cn是椭圆余弦函数。
sc是椭圆正切函数（有时也记作tn）。
cs是椭圆余切函数。
nc是椭圆正割函数。
ns是椭圆余割函数。

dn是椭圆模弦函数。
nd是椭圆模割函数。

因为sn(x,k)=sin[am(x,k)]，且cn(x,k)=cos[am(x,k)]，所以一定有sn²(x,k)+cn²(x,k)=1。因为sn和cn本质上就是正弦，余弦函数套壳。