第一類橢圓積分（Elliptic Integral of the First Kind）：F(φ,k)
https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e100.htm

第二類橢圓積分（Elliptic Integral of the Second Kind）：E(φ,k)
https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e101.htm

第三類橢圓積分（Elliptic Integral of the Third Kind）：Π(n;φ,k)
https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e102.htm

長半軸為a，離心率為e的橢圓的周長C等於第二類完全橢圓積分的4a倍。

即C=4aE(π/2,e)

C=2aE(π,e)

證明：

式中E(π,e)稱為橢圓的圓周率（橢圓周率），記作π(e)=E(π,e)，e為橢圓的離心率。

橢圓的周長=2×橢圓周率×長半軸=橢圓周率×長軸。

π(0)=E(π,0)=π=3.1415926.......

π(1)=E(π,1)=2

第一類橢圓積分函數F(x,k)的反函數又稱為雅可比橢圓幅值函數（Jacobi amplitude）：am(x,k)。

https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html

https://mathworld.wolfram.com/JacobiAmplitude.html

F[am(x,k),k]=x

橢圓正弦函數sn(x,k)是第一類橢圓積分函數的反函數的正弦值：sn(x,k)=sin[am(x,k)]。
橢圓餘弦函數cn(x,k)是第一類橢圓積分函數的反函數的餘弦值：cn(x,k)=cos[am(x,k)]。
橢圓模弦函數dn(x,k)是第一類橢圓積分函數的反函數的導函數：dn(x,k)=[am(x,k)]'。

sn、cn和dn稱為雅可比橢圓函數。

雅可比橢圓函數一共有十二種。普通的sn、cn和dn可以視作「弦類」，它們的比sc、sd、cs、cd、ds、dc可以視作「切類」，它們的倒數ns、nc、nd可以視作「割類」。
sn是橢圓正弦函數。
cn是橢圓餘弦函數。
sc是橢圓正切函數（有時也記作tn）。
cs是橢圓餘切函數。
nc是橢圓正割函數。
ns是橢圓餘割函數。

dn是橢圓模弦函數。
nd是橢圓模割函數。

因為sn(x,k)=sin[am(x,k)]，且cn(x,k)=cos[am(x,k)]，所以一定有sn²(x,k)+cn²(x,k)=1。因為sn和cn本質上就是正弦，餘弦函數套殼。