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原文不嚴謹，所以刪了修改後重發。

對於特殊型一元四次方程x4+px2+qx+r=0，如果q=0，那麼這個方程就是AB類方程（簡單四次方程）。
AB類方程之所以又叫簡單四次方程，是因為這類方程形式上非常簡單，主要包括
（1）只含四次項和常數項的方程：ax4+e=0
因為b=c=d=0，q的分子為0，所以q=0，方程屬於AB類
（2）雙二次方程：ax4+cx2+e=0
因為b=d=0，q的分子為0，所以q=0，方程屬於AB類
（3）能直接用配方法求解的四次方程，如x4+4x3+6x2+4x-5=0，可以配成(x+1)4-6=0
方程能用配四次方法直接求解，說明x=y-b/4a換元後得到的方程y4+py2+qy+r=0不含三、二、一次項。因此p=q=0。因q=0，所以方程屬於AB類

配平方法和待定係數法得到的求根公式無法求解AB類四次方程。
證明：這個命題等價於「無論p和r為何值，若q=0，則分母2y-p=0，利用求根公式無法計算x的值」。
在前面的推導過程中已經知道配平方法和待定係數法得到的公式是等價的，所以下面僅考慮配平方法的公式。
推導過程中關於y的三次方程是8y³-4py²-8ry+4pr-q²=0，顯然當q=0時，y=p/2是方程的一個根。
但三次方程一共有三個根，y=p/2隻是其中一個根。需要證明根據y的公式算出來的y確實等於p/2，而不是三次方程的其他兩根，否則沒有說服力。
y的公式裡面含有兩個三次根號，每個三次根號裡面又含有一個二次根號。二次根號裡面的內容是相同的。
當q=0時，二次根號裡面的內容是(2p³-72pr)²-4(p²+12r)³，展開後是-432p4r+3456p2r2-6912r3。提取公因式-432r，得到-432r(p4-8p2r+16r2)，括號內是一個完全平方式，於是因式分解成-432r(p²-4r)²。
這下二次根號就可以開出來一些因式了。因為432=12×12×3，並且p和r都是實數，可以保證(p²-4r)²≥0，所以可以把12²和(p²-4r)²從根號裡面開出來。
（重要提示：如果a為純虛數，那麼a²<0，這種情況下a²無法從根號裡面開出來）
√[-432r(p²-4r)²]=12|p²-4r|√(-3r)
①當p²-4r≥0時，
第一個三次根號裡面就可以化簡成：p³-36pr+6(p²-4r)√(-3r)=[p+2√(-3r)]³
第二個三次根號裡面可以化簡成：p³-36pr-6(p²-4r)√(-3r)=[p-2√(-3r)]³
開三次方的結果分別為p+2√(-3r)和p-2√(-3r)
所以y=[p+p+2√(-3r)+p-2√(-3r)]/6=3p/6=p/2 => 2y-p=0
②當p²-4r<0時，
第一個三次根號裡面可以化簡成：p³-36pr-6(p²-4r)√(-3r)=[p-2√(-3r)]³
第二個三次根號裡面可以化簡成：p³-36pr+6(p²-4r)√(-3r)=[p+2√(-3r)]³
開三次方的結果分別為p-2√(-3r)和p+2√(-3r)
所以y=[p+p-2√(-3r)+p+2√(-3r)]/6=3p/6=p/2 => 2y-p=0
得證。
這充分說明，配平方法和待定係數法得到的求根公式無法求解所有的一元四次方程。
只有x=u+v+w法得到的只含三層根號的求根公式，才能求解所有的一元四次方程。對於AB類簡單方程，q=0，且u、v、w這三個數中肯定有一個為0，所以±u±v±w只能算出四種結果，對應方程的四個根。
A類、B類複雜方程，q、u、v、w都不為0，±u±v±w算出來是八種結果，其中四種結果是方程的四個根，另外四種結果是增根。
x=u+v+w法得到的四次方程求根公式中含有虛數i的原因：u²、v²、w²是某三次方程的三根，而三次方程求根公式裡面，第一個根的公式不含虛數i，而第二、第三個根的公式含有虛數i。

上面二次根號內式子的因式分解結果，是筆者當時在網上用專業的代數式計算器算出來的，手算算不出來。