其实很多人对泛函的理解都是有些困惑的。主要困惑点在两方面：1，,我们平时总是把函数与函数值混为一谈，因此会分不清复合函数与泛函区别。2，不能理解空间向量

本身就是一种函数，因此无法理解空间向量的函数是泛函。

下面先说困惑点1：

函数是一种映射关系。如f(x): y=2x。函数f(x)是x →" role="presentation">

y的映射关系。函数值是一个数值y。

我们用牛顿第二定理

（物体的加速度与所受力大小的关系）来举例。g(F)： a=Fm" role="presentation">a=Fm" role="presentation"> 。其中F为物体受到的力，m为物体的质量（常数），a为物体的加速度。其中，加速度a是函数值，牛顿定理才是函数。函数g(F)（牛顿定理）是F →" role="presentation">

a的映射关系。所以先贤们总结出来的那些变量之间的关系才是函数。根据公式计算出来的结果是函数值。

说清楚什么是函数，什么是函数值之后，再解释泛函就容易了。

泛函是函数的函数。如：f(x)是x的函数，那么g(f(x))就是泛函了。有人会说，这不是复合函数么？哈哈哈，恭喜你，你又把函数和函数值混淆了。如果把g(f(x))中的f(x)看成是函数值，g(f(x))就是复合函数。如果把g(f(x))中的f(x)看成是函数（映射关系），则g(f(x))就是泛函。若此时你还是感觉有些糊涂，没关系，等你看了下面的例子就清楚了。

举个例子：假设 f1(x)" role="presentation">

代表的是牛顿第二定理， f2(x)" role="presentation"> 代表胡克定理（ Δl=ΔFk" role="presentation">Δl=ΔFk" role="presentation"> ）。如果 g(f(x))" role="presentation"> 调用的是f1(x)" role="presentation">牛顿第二定理，则结果是1， g(f1(x))=1" role="presentation"> ；如果 g(f(x))" role="presentation"> 调用的是f2(x)" role="presentation">胡克定理则结果是2， g(f2(x))=2" role="presentation">

。这个例子中g(f(x))就是泛函。

考虑 g(f(x2))" role="presentation">

与 g(f2(x))" role="presentation"> 的区别。如果你把g(f(x))中的f(x)看成是函数值如： f(x2)" role="presentation"> ，则g(f(x))就是复合函数。但是，如果你把f(x)看成是一种映射关系（f1(x)" role="presentation"> 与f2(x)" role="presentation">

），则g(f(x))就是泛函。

考虑 g(f(x2))" role="presentation">

与 g(f2(x))" role="presentation">

的区别。

考虑 g(f(x2))" role="presentation">

与 g(f2(x))" role="presentation">

的区别。

考虑 g(f(x2))" role="presentation">

与 g(f2(x))" role="presentation">

的区别。

重要的事情说三遍。

其实，我们平时在分析和使用函数时，不注意区分函数与函数值的区别，f(x)即可以用来表示函数，又经常用它来代表函数值。这种情况下，很容易出现复合函数与泛函的混淆。:

总结一下：

函数是数到数的映射

泛函是函数到数的映射

以上回答稍显啰嗦，主要是为了便于理解和强化记忆。

困惑点2：空间向量本身就是函数

评论区有人提到，空间向量到数的映射也称为泛函。好像这种泛函不是函数到数的映射，而是空间到数的映射，与上文的解释有矛盾。其实，空间中的向量也是函数中的一种，因此空间向量到数的映射也称为泛函。下面就解释一下为什么空间向量本身就是函数。

假设三维空间里有一个点（a，b，c），同时我们设想有这样一个函数f（x），这个函数的定义域是三维空间中的坐标系标号（i，j，k），注意这里的（i，j，k）是坐标系的标号，不是坐标的具体值，这里干脆用（1，2，3）来做标号吧。同时需要注意的是：函数f（x）的定义域只有这三个元素，即这三个标号。我们令：f（1）=a，f（2）=b，f（3）=c。这样的f（x）是不是正好可以用来代表空间中的点（a，b，c）。

空间中的另一点（a2，b2，c2）是不是也可以用另外一个函数f2（x）来表示？即：f2（1）=a2，f2（2）=b2，f2（3）=c2。同理，是不是空间中任意一点（an，bn，cn）都可以用一个函数fn（x）来表示？fn（1）=an，fn（2）=bn，fn（3）=cn。

既然我们可以用fn（x）来代表空间中的点（an，bn，cn）。同样，我们也可以用空间中的点（an，bn，cn）来代表函数fn（x）。这样我们可以说，空间中的一个点，就是一个函数，在空间上选了不同的点就等于选了不同的函数。

当然空间中的点还代表空间的向量，即这个点到零点的向量。由于空间中一个点可以代表一个函数，因此空间中的这个向量也可以代表这个函数：即空间中的向量可以看成是函数。

着重强调一下：在空间上选了不同的点就等于选了不同的函数，向量空间也是函数空间的一种。

如果你还是不能理解泛函与函数的区别，欢迎在评论区讨论，我会根据讨论结果对答案进行调整。

https://www.zhihu.com/question/393003746/answer/2933002860