设S是一个非空集合，⋅是S上的二元运算。若运算满足以下两个条件，则称(S,⋅) 为半群 ：‌
‌封闭性‌：对任意a,b∈S，有a⋅b∈S。
‌结合律‌：对任意 a,b,c∈S，有(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)。

交换半群‌：若运算还满足交换律（a⋅b=b⋅a），则称为交换半群 。‌‌‌

半群、幺半群和群是代数结构中层级递进的关系，主要区别在于对单位元和逆元的要求不同。
层级包含关系‌：
‌半群‌：仅要求封闭性和结合律。
‌幺半群（独异点）‌：在半群基础上，若存在‌单位元‌（幺元），则称为幺半群 。‌‌百科‌
‌群‌：在幺半群基础上，若每个元素都存在‌逆元‌，则称为群 。‌‌

满足交换率的半群是交换半群。
满足交换率的群是交换群。