以小數點為界，將被開方數每兩個數分為一組，從高位到低位開始計算。

被開方數108的分組結果：1|08|.00

最高組是1，因為一一得一，二二得四，所以商1。

接下來要將已得到的商乘以20，再加上一個一位數a，再乘上a，得到的數b。我們要找出這樣的a，使b剛好小於最下面橫線下的數字。這個過程叫做「試根」。

第二組是8，已得到的商是1，乘以20是20，那就是找出(20+a)×a<=8。顯然a=0，所以本組商是0。

第三組是00，和剛才的餘數8-0=8組合後是800，已得到的商10乘上20是200，那就是找出(200+a)×a<=800，a=3，(200+a)×a=609，800-609=191。

此時我們已經得到了一位小數的結果10.3，餘數是1.91。

驗算：10.3²+1.91=108。結果是正確的。

第四組還是00，和餘數組合後是19100，已得到的商103乘以20是2060，那就是找出(2060+a)×a<=19100（試根）。

估算：19000÷2000約等於9。

2069×9=18621，剛好，所以本組商是9。

餘數19100-18621=479。

 

已得到的商是10.39，已得到的餘數是0.0479。

驗算：10.39²+0.0479=108，結果也是正確的。百分位的確是商9。

開立方同樣也可以列豎式筆算，只不過是每三位分為一組，用a²的300倍去試根（a代表已得到的商），試出來假設本位商b，那麼餘數=上次餘數－(300a²×b+30a×b²+b³)。

例如，求108000的立方根，先分組：

108 | 000

第一組是108，因為4³=64<108，5³=125>108，所以商4。

第二組是000，和前面的餘數108-64=44拼在一起後是44000。

已得到的商a=4，求滿足300a²×b+30a×b²+b³<=44000的b。

300a²=4800。44000÷4800約等於9。

先試9。a=4，b=9，300a²×b+30a×b²+b³=53649>44000，不夠減，大了。

再試8。a=4，b=8，300a²×b+30a×b²+b³=46592>44000，不夠減，還是大了。

再試7。a=4，b=7，300a²×b+30a×b²+b³=39823<44000，夠減，所以商7。

已得到的商是47，餘數44000-39823=4177。

檢驗：47³+4177=108000，結果正確。

一元三次方程和一元四次方程的求根公式裡面只含有開平方和開立方，所以我們完全可以通過筆算開平方和開立方徒手求解。（當然前提是二次根號下不能遇到負數，不然就沒辦法了，上面所述的筆算開立方的方法沒法對一個虛數開立方）

想要直接利用公式化簡二重根式甚至三重根式是不可能的，只能列豎式筆算。

如果真的遇到了二次根號下為負數的情況，那麼加上一個實數後再開三次方，那就只有去查三角函數表了。。。。。。。

虛數求算數立方根的方法：模長開立方，輻角除以3。

開平方的試根式是20ab+b²，也就是(20a+b)b。
a是已算出來的商，b是本組的商。剛才a=10，b=3，(20×10+3)×3=203×3=609。

開立方的試根式是300a²×b+30a×b²+b³，也就是[30a(10a+b)+b²]b。
剛才a=4，b=7，
  [30×4×(10×4+7)+7×7]×7
=[120×47+49]×7
=[5640+49]×7
=5689×7
=39823

把[30a(10a+b)+b²]看作300a²（或者把(20a+b)看作20a），用44000除以300a²（也就是4800）得到商9，這個過程叫做猜根。
把已有商a=7和猜到的b=9一起代入試根式300a²×b+30a×b²+b³，發現商b=9和8都不合適，b=7才合適。這個過程叫做試根。

試根式的由來：

20ab+b²=(10a+b)²-(10a)²

300a²×b+30a×b²+b³=(10a+b)³-(10a)³

由此可推出四次方根、五次方根……的試根式。