所以arcsn(x,k)=F(arcsinx,k)
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反椭圆正弦函数arcsn(x,k)相当于第一类不完全椭圆积分F(arcsinx,k)
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因为arcsn(sinx,k)=F(x,k)
所以arcsn(x,k)=F(arcsinx,k) |
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设x=arcsn(y,k)=F(arcsiny,k)
则y=sn(x,k)，其中k是常数。 因为x=F(arcsiny,k) 所以arcsiny=arcF(x,k)。 所以y=sin[arcF(x,k)]。 于是得到椭圆正弦函数与第一类不完全椭圆积分的逆的关系： sn(x,k)=sin[arcF(x,k)]。 巨大八爪鱼：现在需要搞清楚第一类不完全椭圆积分的积分表达式究竟表示了椭圆里面的什么东西，这才有办法弄明白arcsn和sn表示的是椭圆里面的什么东西。巨大八爪鱼：上面这篇知乎文章中，雅可比椭圆幅值（Jacobi Amplitude）am(x,k)就是第一类椭圆积分的反函数arcF(x,k)。巨大八爪鱼：突然发现第一篇知乎文章里面所述的第二类椭圆积分的公式有问题，和百度百科里面和其他文章里面写的不一样。巨大八爪鱼：
https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html https://mathworld.wolfram.com/JacobiAmplitude.html 这里面也提到了雅可比椭圆幅值函数（Jacobi amplitude）am(x,k)是第一类椭圆积分函数F(x,k)的反函数。 并且sn(x,k)=sin[am(x,k)]，cn(x,k)=cos[am(x,k)]，dn(x,k)=[am(x,k)]'。
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sn(x,k)是第一类椭圆积分函数的反函数的正弦值。
cn(x,k)是第一类椭圆积分函数的反函数的余弦值。 dn(x,k)是第一类椭圆积分函数的反函数的导函数。 第一类椭圆积分函数的反函数又称为雅可比椭圆幅值函数am(x,k)。 |
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因为sn(x,k)=sin[am(x,k)]
且cn(x,k)=cos[am(x,k)] 所以一定有sn²(x,k)+cn²(x,k)=1。 因为sn和cn本质上就是正弦，余弦函数套壳。 |
因此arcsn(x,0)=arcsinx
于是sn(x,0)=sinx
只知道当离心率e=0（正圆）时，k=0。
因此arcsn(x,0)=arcsinx
反过来sn(arcsinx,0)=x（刚才少写了这一步）
于是sn(x,0)=sinx
k=e=c/a=[√(a²-b²)]/a
=√[(a²-b²)/a²]
=√(1-b²/a²)