所以arcsn(x,k)=F(arcsinx,k)
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反橢圓正弦函數arcsn(x,k)相當於第一類不完全橢圓積分F(arcsinx,k)
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因為arcsn(sinx,k)=F(x,k)
所以arcsn(x,k)=F(arcsinx,k) |
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設x=arcsn(y,k)=F(arcsiny,k)
則y=sn(x,k)，其中k是常數。 因為x=F(arcsiny,k) 所以arcsiny=arcF(x,k)。 所以y=sin[arcF(x,k)]。 於是得到橢圓正弦函數與第一類不完全橢圓積分的逆的關係： sn(x,k)=sin[arcF(x,k)]。  巨大八爪鱼：現在需要搞清楚第一類不完全橢圓積分的積分表達式究竟表示了橢圓裏面的什麼東西，這才有辦法弄明白arcsn和sn表示的是橢圓裏面的什麼東西。巨大八爪鱼：上面這篇知乎文章中，雅可比橢圓幅值（Jacobi Amplitude）am(x,k)就是第一類橢圓積分的反函數arcF(x,k)。巨大八爪鱼：突然發現第一篇知乎文章裏面所述的第二類橢圓積分的公式有問題，和百度百科裏面和其他文章裏面寫的不一樣。巨大八爪鱼：
https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html https://mathworld.wolfram.com/JacobiAmplitude.html 這裏面也提到了雅可比橢圓幅值函數（Jacobi amplitude）am(x,k)是第一類橢圓積分函數F(x,k)的反函數。 並且sn(x,k)=sin[am(x,k)]，cn(x,k)=cos[am(x,k)]，dn(x,k)=[am(x,k)]'。
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sn(x,k)是第一類橢圓積分函數的反函數的正弦值。
cn(x,k)是第一類橢圓積分函數的反函數的餘弦值。 dn(x,k)是第一類橢圓積分函數的反函數的導函數。 第一類橢圓積分函數的反函數又稱為雅可比橢圓幅值函數am(x,k)。 |
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因為sn(x,k)=sin[am(x,k)]
且cn(x,k)=cos[am(x,k)] 所以一定有sn²(x,k)+cn²(x,k)=1。 因為sn和cn本質上就是正弦，餘弦函數套殼。 |
因此arcsn(x,0)=arcsinx
於是sn(x,0)=sinx
只知道當離心率e=0（正圓）時，k=0。
因此arcsn(x,0)=arcsinx
反過來sn(arcsinx,0)=x（剛才少寫了這一步）
於是sn(x,0)=sinx
k=e=c/a=[√(a²-b²)]/a
=√[(a²-b²)/a²]
=√(1-b²/a²)