一元四次方程的求根公式主要有两种。
第一种是用y=u+v+w推导出来的只含三层根号的公式，形式为x=-b/4a±1√L±2√M±3√N，其中L、M、N是某三次方程的三根。公式中的分母只含a，不含其它任何字母，可以求解任意四次方程。但公式中含有虚数ω，计算比较繁琐。
第二种是用配平方法、待定系数法等方法推导出来的含有四层根号的公式。公式中不含虚数，但是分母中含有a以外的字母，当q=0时无法利用这些求根公式求解。
这里我们选择第一种公式求解。

A~E栏填写方程的系数（实数）
G栏计算参数p：
=(8*A2*C2-3*B2*B2)/(8*A2*A2)
H栏计算参数q：
=(8*A2*A2*D2-4*A2*B2*C2+B2*B2*B2)/(8*A2*A2*A2)
I栏计算参数r：
=(256*A2*A2*A2*E2-64*A2*A2*B2*D2+16*A2*B2*B2*C2-3*B2*B2*B2*B2)/(256*A2*A2*A2*A2)
J栏计算2p³+27q²-72pr：
=2*G2*G2*G2+27*H2*H2-72*G2*I2
K栏计算p²+12r：
=G2*G2+12*I2
L栏计算参数L：
=IMDIV(IMSUM(-2*G2,IMCBRT(IMDIV(IMSUM(J2,IMSQRT(J2*J2-4*K2*K2*K2)),2)),IMCBRT(IMDIV(IMSUB(J2,IMSQRT(J2*J2-4*K2*K2*K2)),2))),12)
M栏计算参数M：
=IMDIV(IMSUM(-2*G2,IMCBRT(IMDIV(IMSUM(J2,IMSQRT(J2*J2-4*K2*K2*K2)),2),1),IMCBRT(IMDIV(IMSUB(J2,IMSQRT(J2*J2-4*K2*K2*K2)),2),2)),12)
N栏计算参数N：
=IMDIV(IMSUM(-2*G2,IMCBRT(IMDIV(IMSUM(J2,IMSQRT(J2*J2-4*K2*K2*K2)),2),2),IMCBRT(IMDIV(IMSUB(J2,IMSQRT(J2*J2-4*K2*K2*K2)),2),1)),12)
O栏为q√L√M√N的值，用来判断方程的类别：
=IMROUND(IMPRODUCT(H2,IMSQRT(L2),IMSQRT(M2),IMSQRT(N2)),6)
当q√L√M√N<0时为A类方程，q√L√M√N>0时为B类方程，q√L√M√N=0时为AB类方程。
P栏为A类方程第一个根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(4*A2),IMSQRT(L2),IMSQRT(M2),IMSQRT(N2)),6)
Q栏为A类方程第二个根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(4*A2),IMSQRT(L2),IMOPPSITE(IMSQRT(M2)),IMOPPSITE(IMSQRT(N2))),6)
R栏为A类方程第三个根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(4*A2),IMOPPSITE(IMSQRT(L2)),IMSQRT(M2),IMOPPSITE(IMSQRT(N2))),6)
S栏为A类方程第四个根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(4*A2),IMOPPSITE(IMSQRT(L2)),IMOPPSITE(IMSQRT(M2)),IMSQRT(N2)),6)
T栏为B类方程第一个根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(4*A2),IMSQRT(L2),IMSQRT(M2),IMOPPSITE(IMSQRT(N2))),6)
U栏为B类方程第二个根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(4*A2),IMSQRT(L2),IMOPPSITE(IMSQRT(M2)),IMSQRT(N2)),6)
V栏为B类方程第三个根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(4*A2),IMOPPSITE(IMSQRT(L2)),IMSQRT(M2),IMSQRT(N2)),6)
W栏为B类方程第四个根：
=IMROUND(IMSUM(-B2/(4*A2),IMOPPSITE(IMSQRT(L2)),IMOPPSITE(IMSQRT(M2)),IMOPPSITE(IMSQRT(N2))),6)
当方程为AB类时，PQRS栏和TUVW栏都是方程的根。
X栏检验A类方程第一个根的误差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,P2,P2,P2,P2),IMPRODUCT(B2,P2,P2,P2),IMPRODUCT(C2,P2,P2),IMPRODUCT(D2,P2),E2),6)
Y栏检验A类方程第二个根的误差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,Q2,Q2,Q2,Q2),IMPRODUCT(B2,Q2,Q2,Q2),IMPRODUCT(C2,Q2,Q2),IMPRODUCT(D2,Q2),E2),6)
Z栏检验A类方程第三个根的误差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,R2,R2,R2,R2),IMPRODUCT(B2,R2,R2,R2),IMPRODUCT(C2,R2,R2),IMPRODUCT(D2,R2),E2),6)
AA栏检验A类方程第四个根的误差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,S2,S2,S2,S2),IMPRODUCT(B2,S2,S2,S2),IMPRODUCT(C2,S2,S2),IMPRODUCT(D2,S2),E2),6)
AB栏检验B类方程第一个根的误差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,T2,T2,T2,T2),IMPRODUCT(B2,T2,T2,T2),IMPRODUCT(C2,T2,T2),IMPRODUCT(D2,T2),E2),6)
AC栏检验B类方程第二个根的误差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,U2,U2,U2,U2),IMPRODUCT(B2,U2,U2,U2),IMPRODUCT(C2,U2,U2),IMPRODUCT(D2,U2),E2),6)
AD栏检验B类方程第三个根的误差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,V2,V2,V2,V2),IMPRODUCT(B2,V2,V2,V2),IMPRODUCT(C2,V2,V2),IMPRODUCT(D2,V2),E2),6)
AE栏检验B类方程第四个根的误差：
=IMROUND(IMSUM(IMPRODUCT(A2,W2,W2,W2,W2),IMPRODUCT(B2,W2,W2,W2),IMPRODUCT(C2,W2,W2),IMPRODUCT(D2,W2),E2),6)

其中用到的三个自定义函数（按Alt+F11，在弹出的窗口中添加模块）：
Function IMCBRT(x, Optional w As Integer = 0)
    If WorksheetFunction.Imaginary(x) = 0 Then
        IMCBRT = WorksheetFunction.Power(x, 1 / 3)
    Else
        IMCBRT = WorksheetFunction.ImPower(x, 1 / 3)
    End If
   
    If w Mod 3 = 1 Then
        w1 = WorksheetFunction.Complex(-1 / 2, VBA.Sqr(3) / 2)
        IMCBRT = WorksheetFunction.ImProduct(w1, IMCBRT)
    ElseIf w Mod 3 = 2 Then
        w2 = WorksheetFunction.Complex(-1 / 2, -VBA.Sqr(3) / 2)
        IMCBRT = WorksheetFunction.ImProduct(w2, IMCBRT)
    End If
End Function
Function IMROUND(x, Optional n As Integer = 0)
    real = WorksheetFunction.Round(WorksheetFunction.ImReal(x), n)
    imag = WorksheetFunction.Round(WorksheetFunction.Imaginary(x), n)
    IMROUND = WorksheetFunction.Complex(real, imag)
End Function
Function IMOPPSITE(x)
    If x = 0 Then
        IMOPPSITE = 0
    Else
        real = -WorksheetFunction.ImReal(x)
        imag = -WorksheetFunction.Imaginary(x)
        IMOPPSITE = WorksheetFunction.Complex(real, imag)
    End If
End Function
函数的用法：
IMCBRT(x)求x的算术立方根，IMCBRT(x,1)和IMCBRT(x,2)求x的其他两个立方根
IMROUND(x,n)让复数x四舍五入保留n位小数
IMOPPSITE(x)求复数x的相反数-x

AB类方程
一元四次方程分为三类：A类、B类、AB类。
AB类方程属于简单四次方程。A类、B类方程属于复杂四次方程。
若一个一元四次方程满足q√L√M√N=0，这个方程就是AB类方程。且q√L√M√N=0一定是因为q=0。（q的分子为8a²d-4abc+b³）
AB类方程之所以又叫简单四次方程，是因为这类方程形式上非常简单，主要包括
（1）只含四次项和常数项的方程：ax4+e=0
证明：因为b=c=d=0，q的分子为0，所以q=0，方程属于AB类
（2）双二次方程：ax4+cx2+e=0
证明：因为b=d=0，q的分子为0，所以q=0，方程属于AB类
（3）能直接用配四次方法求解的四次方程，如x4+4x3+6x2+4x-5=0，可以配成(x+1)4-6=0
证明：方程能用配四次方法直接求解，说明x=y-b/4a换元后得到的方程y4+py2+qy+r=0不含三、二、一次项。因此p=q=0。因q=0，所以方程属于AB类
配平方法和待定系数法得到的求根公式无法求解AB类四次方程。 [2]
证明：这个命题等价于“无论p和r为何值，若q=0，则分母2y-p=0，利用求根公式无法计算x的值”。
在前面的推导过程中已经知道配平方法和待定系数法得到的公式是等价的，所以下面仅考虑配平方法的公式。
推导过程中关于y的三次方程是8y³-4py²-8ry+4pr-q²=0，显然当q=0时，y=p/2是方程的一个根。
但三次方程一共有三个根，y=p/2只是其中一个根。需要证明根据y的公式算出来的y确实等于p/2，而不是三次方程的其他两根，否则没有说服力。
y的公式里面含有两个三次根号，每个三次根号里面又含有一个二次根号。二次根号里面的内容是相同的。
当q=0时，二次根号里面的内容是(2p³-72pr)²-4(p²+12r)³，展开后是-432p4r+3456p2r2-6912r3。提取公因式-432r，得到-432r(p4-8p2r+16r2)，括号内是一个完全平方式，于是因式分解成-432r(p²-4r)²。
这下二次根号就可以开出来一些因式了。因为432=12×12×3，所以√[-432r(p²-4r)²]=12(p²-4r)√(-3r)。
第一个三次根号里面就可以化简成：p³-36pr+6(p²-4r)√(-3r)
第二个三次根号里面可以化简成：p³-36pr-6(p²-4r)√(-3r)
开三次方的结果分别为p+2√(-3r)和p-2√(-3r)。
所以y=[p+p+2√(-3r)+p-2√(-3r)]/6=3p/6=p/2 => 2y-p=0，得证。
这充分说明，配平方法和待定系数法得到的求根公式无法求解所有的一元四次方程。
只有x=u+v+w法得到的只含三层根号的求根公式，才能求解所有的一元四次方程。对于AB类简单方程，q=0，且u、v、w这三个数中肯定有一个为0，所以±u±v±w只能算出四种结果，对应方程的四个根。
A类、B类复杂方程，q、u、v、w都不为0，±u±v±w算出来是八种结果，其中四种结果是方程的四个根，另外四种结果是增根。
对于实系数四次方程，计算出来的p、q、r也是实数，对应的三次方程也是实系数，三次方程的三根u²、v²、w²只有两种情况：①三个都是实数；②一个实数，一对共轭虚数。所以uvw相乘一定是实数，不会出现uvw相乘为虚数，无法判断方程类别的情况。
x=u+v+w法得到的四次方程求根公式中含有虚数i的原因：u²、v²、w²是某三次方程的三根，而三次方程求根公式里面，第一个根的公式不含虚数i，而第二、第三个根的公式含有虚数i。

Excel表格建好后，随意输入一元四次方程的五个系数：a、b、c、d和e，可以发现此Excel表能正确判断方程的类型（A类、B类或AB类），并且检验出来四个解中每个解的实部和虚部的误差（也就是把算出来的x代回原方程的左边，看计算结果与右边的0相差有多大）都小于10^-5甚至10^-6。

这充分说明之前推导的“只含有三层根号的一元四次方程求根公式”虽然公式中含有虚数i，但是仍能正确求解出未知数的值（包括实数解）。

从图中可以看出，A类方程的4个A类根的误差几乎为0，但是4个B类根（增根）的误差非常大。
B类方程正好相反，4个A类根是增根，误差极大，4个B类根才是方程的解，误差几乎为0。

AB类简单方程，A类根和B类根误差都几乎为0，没有增根。仔细一看就会发现，A类根和B类根的四个数值是相同的。