以小数点为界，将被开方数每两个数分为一组，从高位到低位开始计算。

被开方数108的分组结果：1|08|.00

最高组是1，因为一一得一，二二得四，所以商1。

接下来要将已得到的商乘以20，再加上一个一位数a，再乘上a，得到的数b。我们要找出这样的a，使b刚好小于最下面横线下的数字。这个过程叫做“试根”。

第二组是8，已得到的商是1，乘以20是20，那就是找出(20+a)×a<=8。显然a=0，所以本组商是0。

第三组是00，和刚才的余数8-0=8组合后是800，已得到的商10乘上20是200，那就是找出(200+a)×a<=800，a=3，(200+a)×a=609，800-609=191。

此时我们已经得到了一位小数的结果10.3，余数是1.91。

验算：10.3²+1.91=108。结果是正确的。

第四组还是00，和余数组合后是19100，已得到的商103乘以20是2060，那就是找出(2060+a)×a<=19100（试根）。

估算：19000÷2000约等于9。

2069×9=18621，刚好，所以本组商是9。

余数19100-18621=479。

 

已得到的商是10.39，已得到的余数是0.0479。

验算：10.39²+0.0479=108，结果也是正确的。百分位的确是商9。

开立方同样也可以列竖式笔算，只不过是每三位分为一组，用a²的300倍去试根（a代表已得到的商），试出来假设本位商b，那么余数=上次余数－(300a²×b+30a×b²+b³)。

例如，求108000的立方根，先分组：

108 | 000

第一组是108，因为4³=64<108，5³=125>108，所以商4。

第二组是000，和前面的余数108-64=44拼在一起后是44000。

已得到的商a=4，求满足300a²×b+30a×b²+b³<=44000的b。

300a²=4800。44000÷4800约等于9。

先试9。a=4，b=9，300a²×b+30a×b²+b³=53649>44000，不够减，大了。

再试8。a=4，b=8，300a²×b+30a×b²+b³=46592>44000，不够减，还是大了。

再试7。a=4，b=7，300a²×b+30a×b²+b³=39823<44000，够减，所以商7。

已得到的商是47，余数44000-39823=4177。

检验：47³+4177=108000，结果正确。

一元三次方程和一元四次方程的求根公式里面只含有开平方和开立方，所以我们完全可以通过笔算开平方和开立方徒手求解。（当然前提是二次根号下不能遇到负数，不然就没办法了，上面所述的笔算开立方的方法没法对一个虚数开立方）

想要直接利用公式化简二重根式甚至三重根式是不可能的，只能列竖式笔算。

如果真的遇到了二次根号下为负数的情况，那么加上一个实数后再开三次方，那就只有去查三角函数表了。。。。。。。

虚数求算数立方根的方法：模长开立方，辐角除以3。

开平方的试根式是20ab+b²，也就是(20a+b)b。
a是已算出来的商，b是本组的商。刚才a=10，b=3，(20×10+3)×3=203×3=609。

开立方的试根式是300a²×b+30a×b²+b³，也就是[30a(10a+b)+b²]b。
刚才a=4，b=7，
  [30×4×(10×4+7)+7×7]×7
=[120×47+49]×7
=[5640+49]×7
=5689×7
=39823

把[30a(10a+b)+b²]看作300a²（或者把(20a+b)看作20a），用44000除以300a²（也就是4800）得到商9，这个过程叫做猜根。
把已有商a=7和猜到的b=9一起代入试根式300a²×b+30a×b²+b³，发现商b=9和8都不合适，b=7才合适。这个过程叫做试根。

试根式的由来：

20ab+b²=(10a+b)²-(10a)²

300a²×b+30a×b²+b³=(10a+b)³-(10a)³

由此可推出四次方根、五次方根……的试根式。