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第一類橢圓積分（Elliptic Integral of the First Kind）：F(φ,k) 第二類橢圓積分（Elliptic Integral of the Second Kind）：E(φ,k) 第三類橢圓積分（Elliptic Integral of the Third Kind）：Π(n;φ,k)
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當自變量φ=π/2，即sinφ=1時，稱為完全橢圓積分，否則稱為不完全橢圓積分。
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長半軸為a，離心率為e的橢圓的周長C等於第二類完全橢圓積分的4a倍。 即C=4aE(π/2,e)
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C=2aE(π,e) 證明：
式中E(π,e)稱為橢圓的圓周率（橢圓周率），記作π(e)=E(π,e)，e為橢圓的離心率。 橢圓的周長=2×橢圓周率×長半軸=橢圓周率×長軸。 π(0)=E(π,0)=π=3.1415926....... π(1)=E(π,1)=2 |
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第一類橢圓積分函數F(x,k)的反函數又稱為雅可比橢圓幅值函數（Jacobi amplitude）：am(x,k)。 https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html https://mathworld.wolfram.com/JacobiAmplitude.html F[am(x,k),k]=x
橢圓正弦函數sn(x,k)是第一類橢圓積分函數的反函數的正弦值：sn(x,k)=sin[am(x,k)]。 sn、cn和dn稱為雅可比橢圓函數。
雅可比橢圓函數一共有十二種。普通的sn、cn和dn可以視作「弦類」，它們的比sc、sd、cs、cd、ds、dc可以視作「切類」，它們的倒數ns、nc、nd可以視作「割類」。 dn是橢圓模弦函數。
因為sn(x,k)=sin[am(x,k)]，且cn(x,k)=cos[am(x,k)]，所以一定有sn²(x,k)+cn²(x,k)=1。因為sn和cn本質上就是正弦，餘弦函數套殼。 |
（1）∫sinxdx和∫cosxdx雖然不定積分不同，但在0到π/2區間上的定積分值是相同的，因為函數圖像相反，面積相同。
（2）由離心率e和長半軸a可以求出短半軸b。
（3）cosx=sin(π/2-x)是三角函數的誘導公式。
（4）d(π/2-x)=d(π/2)-dx=0-dx=-dx。d(π/2)中的π/2是常數，所以微分結果為0。
（5）定積分上下限交換後，要在前面添加負號。
橢圓的參數方程是x=acosθ，y=bsinθ。他寫反了。
（6）定積分中用t=π/2-x換元後，積分的上下限也要變成t的對應值。
下限x=0對應t=π/2，上限x=π/2對應t=0。
https://www.zhihu.com/question/359369513/answer/923630683
這篇知乎文章也提到了C=4aE(π/2,e)。